Найдите все пары (x,y), при которых достигается минимум выражения
2−cos2x2−cosx+(y2+1)22−cos2x+∣y∣+1(y2+1)2+2−cosx∣y∣+1.Обозначим a=2−cosx, b=2−cos2x, c=(y2+1)2, d=∣y∣+1. Тогда выражение равно
S=ba+cb+dc+ad.Все четыре величины положительны: a=2−cosx∈[1,3], b=2−cos2x∈[1,3], c=(y2+1)2≥1, d=∣y∣+1≥1 (знаменатели не обращаются в нуль). Поэтому к четырём положительным слагаемым применимо неравенство о среднем:
S=ba+cb+dc+ad≥44ba⋅cb⋅dc⋅ad=441=4.Равенство в неравенстве о среднем достигается тогда и только тогда, когда все слагаемые равны, то есть когда все отношения равны: ba=cb=dc=ad. Так как их произведение равно 1, каждое отношение равно 1, значит требуется a=b=c=d.
Найдём, при каких x,y это возможно.
1) Условие a=b: 2−cosx=2−cos2x, то есть cosx=cos2x=2cos2x−1, откуда 2cos2x−cosx−1=0 и cosx∈{1, −21}.
cosx=1:a=b=2−1=1;cosx=−21:a=b=2−(−21)=25.Итак общее значение a=b равно либо 1, либо 25.
2) Условие c=d: пусть t=∣y∣≥0, тогда (t2+1)2=t+1, то есть t4+2t2−t=0, t(t3+2t−1)=0. Корни t=0 и единственный положительный корень t0 уравнения t3+2t−1=0 (t0≈0,4534). При t=0 общее значение c=d=1; при t=t0 оно равно t0+1≈1,4534. Итак общее значение c=d равно либо 1, либо ≈1,4534.
3) Для равенства a=b=c=d общее значение пары a,b должно совпадать с общим значением пары c,d. Возможные значения первой пары {1, 25}, второй {1, ≈1,4534}; единственное общее значение − это 1. Поэтому необходимо a=b=1 и c=d=1, то есть cosx=1 и y=0.
Условие cosx=1 даёт x=2πk, k∈Z; при этом a=b=1. При y=0 имеем c=(0+1)2=1, d=0+1=1. Тогда
S=11+11+11+11=4,и нижняя граница достигается.
Ответ: минимум выражения равен 4 и достигается в точках x=2πk (k∈Z), y=0.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
ДВИ МГУ