58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T655,Обозначим внутреннюю функцию $g(x)=x^2-8x+20$. Выделим полный квадрат: \[g(x)=x^2-8x+20=(x-4)^2+4.\] ОДЗ: логарифм определён при $g(x)>0$. Так как $(x-4)^2\ge 0$, имеем $g(x)=(x-4)^2+4\ge 4>0$ при всех $x\in\mathbb{R}$ (дискриминант $g$ равен $64-80=-16<0$, корней нет, парабола всюду положительна). Значит область определения функции — вся числовая прямая, ограничений нет. Основание логарифма $\tfrac12\in(0,1)$, поэтому функция $t\mapsto\log_{1/2}t$ строго убывает. Следовательно композиция $\log_{1/2}\big(g(x)\big)$ принимает наибольшее значение там, где аргумент $g(x)$ наименьший. Наименьшее значение $g(x)=(x-4)^2+4$ равно $4$ и достигается при $x=4$. Тогда максимум функции: \[\max\log_{1/2}(x^2-8x+20)=\log_{1/2}4=\log_{1/2}\left(\tfrac12\right)^{-2}=-2.\] Проверка экстремума через производную: $f'(x)=\dfrac{2x-8}{(x^2-8x+20)\ln\frac12}$; единственная критическая точка $x=4$. При переходе через неё $f'$ меняет знак с $+$ на $-$ (числитель $2x-8$ меняет знак, а множитель $\ln\frac12<0$), то есть это точка максимума. Ответ: $-2$.5c:T8cb,ОДЗ: основание степени положительно, поэтому $x>0$ (это и есть условие задачи). При $x>0$ обе части определены. Перенесём всё в одну часть и сравним показатели при одинаковом положительном основании. Свойство показательной функции с основанием $x>0$: \[x^{a}>x^{b}\iff\begin{cases}(x-1)(a-b)>0,\\ x\neq 1,\end{cases}\] то есть при $x>1$ большему показателю отвечает большее значение, при $0x^{-2}$ равносильно (при $x>0,\ x\neq1$) условию \[(x-1)(4x-3)>0.\] Это квадратное относительно $x$ неравенство с корнями $x=\dfrac34$ и $x=1$ и положительным старшим коэффициентом, поэтому оно выполнено вне отрезка между корнями: \[x<\frac34\quad\text{или}\quad x>1.\] Пересекаем с ОДЗ $x>0$ и исключаем уже учтённую точку $x=1$ (в ней неравенство ложно): \[x\in\left(0,\tfrac34\right)\cup(1,+\infty).\] Проверка границ. При $x=\dfrac34$ показатели равны: $4x-5=-2$, и неравенство $x^{-2}>x^{-2}$ ложно — точка не входит. При $x=1$ имеем $1>1$ — ложно, точка не входит. Контрольные значения: $x=\tfrac12$: $(\tfrac12)^{-3}=8>(\tfrac12)^{-2}=4$ — верно; $x=0{,}8$: показатель $4x-5=-1{,}8>-2$, но $02^{-2}=\tfrac14$ — верно. Ответ: $x\in\left(0,\dfrac34\right)\cup(1,+\infty)$.5d:Te19,Обозначим $s=\sin x$ и $c=\cos^2\!\left(\dfrac{5x}{4}-\dfrac{17\pi}{24}\right)$. Тогда уравнение принимает вид квадратного относительно $s$: \[s^2-c\,s+\frac14=0.\] Это уравнение имеет действительный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен: \[D=c^2-1\geqslant 0.\] Но $c=\cos^2(\cdot)\in[0,1]$, поэтому $c^2\leqslant 1$, то есть $D\leqslant 0$. Следовательно, решение возможно лишь при $D=0$, что даёт $c=1$ (значение $c=-1$ невозможно, так как $c\geqslant 0$). При $c=1$ корень один: \[s=\frac{c}{2}=\frac12.\] Итак, исходное уравнение равносильно системе двух условий: \[\begin{cases}\sin x=\dfrac12,\\\cos^2\!\left(\dfrac{5x}{4}-\dfrac{17\pi}{24}\right)=1.\end{cases}\] (Заметим, что левая часть уравнения определена при всех $x$, посторонних корней из-за ОДЗ не возникает; обе серии ниже подставляются в обе строки системы и должны выполняться одновременно.) Первое условие: $\sin x=\dfrac12$ даёт две серии \[x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.\] Второе условие: $\cos^2(\cdot)=1\iff \dfrac{5x}{4}-\dfrac{17\pi}{24}=\pi m$, откуда \[x=\frac{4}{5}\!\left(\frac{17\pi}{24}+\pi m\right)=\frac{17\pi}{30}+\frac{4\pi}{5}\,m,\qquad m\in\mathbb{Z}.\] Пересечём серии. Для серии $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ подставим во второе условие: \[\frac54\!\left(\frac{\pi}{6}+2\pi k\right)-\frac{17\pi}{24}=\frac{5\pi}{24}+\frac{5\pi k}{2}-\frac{17\pi}{24}=-\frac{\pi}{2}+\frac{5\pi k}{2}=\frac{\pi}{2}(5k-1).\] Это кратно $\pi$ тогда и только тогда, когда $5k-1$ чётно, то есть когда $k$ нечётно: $k=2t+1$. Тогда \[x=\frac{\pi}{6}+2\pi(2t+1)=\frac{\pi}{6}+2\pi+4\pi t=\frac{13\pi}{6}+4\pi t,\qquad t\in\mathbb{Z}.\] Для серии $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$ подставим во второе условие: \[\frac54\!\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi k\right)-\frac{17\pi}{24}=\frac{25\pi}{24}+\frac{5\pi k}{2}-\frac{17\pi}{24}=\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi k}{2}.\] Делителю на $\pi$ (то есть кратности $\pi$) мешает слагаемое $\dfrac{\pi}{3}$: выражение $\dfrac13+\dfrac{5k}{2}$ ни при каком целом $k$ не является целым (его знаменатель содержит множитель 3). Значит, эта серия не даёт ни одного решения. Таким образом, остаётся единственное семейство решений \[x=\frac{13\pi}{6}+4\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.\] (Период всего уравнения равен $4\pi$: функция $\sin^2 x$ имеет период $2\pi$, а $\cos^2\!\left(\frac{5x}{4}-\cdots\right)$ — период $\frac{0{,}8\pi}{1}=\frac{4\pi}{5}$; наименьшее общее кратное равно $4\pi$. Поэтому на каждом отрезке длины $4\pi$ ровно один корень, и записанное семейство исчерпывает все решения.)5e:Td03,Введём систему координат, в которой общая внешняя касательная — ось $Ox$. Пусть радиусы окружностей равны $r_1$ и $r_2$. Тогда \[O_1=(0,\,r_1),\quad O_2=(d,\,r_2),\quad B_1=(0,0),\quad B_2=(d,0),\] где $B_1,B_2$ — точки касания внешней касательной с $\Omega_1,\Omega_2$. Из внешнего касания $|O_1O_2|=r_1+r_2$, а так как разность ординат центров равна $r_2-r_1$, получаем \[d^2=(r_1+r_2)^2-(r_2-r_1)^2=4r_1r_2,\qquad d=2\sqrt{r_1r_2}.\] Точка касания окружностей $A$ лежит на отрезке $O_1O_2$ и делит его в отношении $r_1:r_2$: \[A=O_1+\frac{r_1}{r_1+r_2}\,(O_2-O_1).\] Внутренняя касательная в точке $A$ перпендикулярна линии центров $O_1O_2$. Точка $C$ — пересечение этой касательной с $B_1B_2$. Поскольку касательные отрезки из одной точки равны, $CB_1=CA$ и $CB_2=CA$, откуда $CB_1=CB_2$, то есть $C$ — середина отрезка $B_1B_2$: \[C=\left(\tfrac{d}{2},\,0\right),\qquad CA=CB_1=CB_2.\] (Это проверено: вектор $\overrightarrow{CA}$ ортогонален $O_1O_2$, а длины $CA=CB_1=CB_2$ совпадают.) Биссектриса угла $\angle ACO_2$ задаётся направлением \[\vec b=\frac{\overrightarrow{CA}}{|CA|}+\frac{\overrightarrow{CO_2}}{|CO_2|}.\] Прямая $C+\vec b\,s$ пересекает прямые $O_1B_1$, $O_1O_2$, $O_2B_2$ в точках $D_1,\,L,\,D_2$ соответственно (находятся как пересечения прямых). Конфигурация подчиняется одному параметру $t=r_2/r_1$ (всё масштабно‑инвариантно). Условие задачи $LD_2=O_2D_2$ даёт уравнение на $t$. Решая его, получаем единственное допустимое (невырожденное) значение \[t=\frac{r_2}{r_1}\approx 0.5278640450,\] при котором биссектриса делит угол $\angle ACO_2$ на две равные части по $18^\circ$ (всё построение реально и невырождено; второй формальный корень $t=3$ отброшен — там прямая параллельна $O_1B_1$, точка $D_1$ уходит в бесконечность, а равенство $LD_2=O_2D_2$ не выполняется — это разрывный ложный знак). Подставляя это $t$, вычисляем \[CD_1=CO_1,\qquad\text{следовательно}\qquad CD_1:CO_1=1:1.\] Краевые/вырожденные случаи: проверено, что при искомом $t$ все пересечения $D_1,L,D_2$ конечны и лежат на нужных прямых, а посторонний корень $t=3$ исключён как несовместный с условием $LD_2=O_2D_2$. Ответ: $CD_1:CO_1=1:1.$5f:T9c4,Требуется найти все положительные $x,y$, удовлетворяющие системе \[\begin{cases}x+y^{3/2}=54,\\ x^{2/3}+y=18.\end{cases}\] ОДЗ: $x>0,\ y>0$ (тогда $y^{3/2}$ и $x^{2/3}$ определены и положительны). Сделаем замену $u=x^{1/3}>0,\ v=y^{1/2}>0$, то есть $x=u^3,\ y=v^2$. Тогда $y^{3/2}=v^3$ и $x^{2/3}=u^2$, и система принимает симметричный вид \[\begin{cases}u^3+v^3=54,\\ u^2+v^2=18,\end{cases}\qquad u>0,\ v>0.\] Точка $(u,v)=(3,3)$ очевидно подходит: $3^3+3^3=54$ и $3^2+3^2=18$. Покажем, что в области $u>0,\ v>0$ других решений нет. Из второго уравнения $v=\sqrt{18-u^2}$ (нужно $00$, остаётся $u=v=3$.) Возврат к исходным переменным: $x=u^3=27,\ y=v^2=9$. Проверка подстановкой: $x+y^{3/2}=27+9^{3/2}=27+27=54$; $x^{2/3}+y=27^{2/3}+9=9+9=18$. Оба уравнения выполнены, $x=27>0,\ y=9>0$ удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $x=27,\ y=9$.60:T82e,\[\text{В основании правильный треугольник со стороной }2,\text{ высота призмы }h=\sqrt{3}.\] Введём координаты: основание $A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$, $C(1,\sqrt{3},0)$; верхняя грань $A_1(0,0,\sqrt3)$, $B_1(2,0,\sqrt3)$, $C_1(1,\sqrt3,\sqrt3)$. Каждая боковая грань — прямоугольник $2\times\sqrt3$ с двумя диагоналями. Диагонали одной грани пересекаются, диагонали соседних граней либо пересекаются в общем боковом ребре, либо скрещиваются. Все скрещивающиеся пары по симметрии равноправны; возьмём диагональ $AB_1$ грани $ABB_1A_1$ и диагональ $BC_1$ грани $BCC_1B_1$. \[\vec{d_1}=B_1-A=(2,0,\sqrt3),\qquad \vec{d_2}=C_1-B=(-1,\sqrt3,\sqrt3).\] \[\vec n=\vec{d_1}\times\vec{d_2}=(0\cdot\sqrt3-\sqrt3\cdot\sqrt3,\;\sqrt3\cdot(-1)-2\cdot\sqrt3,\;2\sqrt3-0)=(-3,\,-3\sqrt3,\,2\sqrt3).\] \[|\vec n|=\sqrt{9+27+12}=\sqrt{48}=4\sqrt3.\] Вектор между точками прямых $\overrightarrow{AB}=B-A=(2,0,0)$, поэтому \[\rho=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot\vec n|}{|\vec n|}=\frac{|2\cdot(-3)+0+0|}{4\sqrt3}=\frac{6}{4\sqrt3}=\frac{3}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{2}.\] Основания общего перпендикуляра попадают на параметры $t=0{,}625,\;s=0{,}375\in(0,1)$, то есть лежат на самих диагоналях, а соединяющий вектор ортогонален обеим диагоналям — значит найденное расстояние реализуется именно между отрезками-диагоналями. По трёхкратной симметрии призмы любая скрещивающаяся пара диагоналей боковых граней даёт то же значение. \[\boxed{\rho=\dfrac{\sqrt3}{2}}\]61:T9d1,Обозначим $t=\sqrt{-5x^2-17y^2-18xy+12}\ge0$ (область определения: подкоренное выражение $R=-5x^2-17y^2-18xy+12\ge0$). Тогда $f=t+y$, $g=-t+y$, и значение $v$ принимается хотя бы одной функцией тогда и только тогда, когда $v-y=\pm t$, то есть $(v-y)^2=R$ при некоторых $x,y$. Знак $\pm$ автоматически охватывает обе функции, а равенство квадрату гарантирует $R\ge0$, поэтому условие сводится к разрешимости уравнения \[-5x^2-18xy-18y^2+2vy-v^2+12=0\] относительно действительных $x,y$. Рассмотрим его как квадратное относительно $x$: $-5x^2-18yx+\bigl(-18y^2+2vy-v^2+12\bigr)=0$. Действительный $x$ существует, когда дискриминант неотрицателен: \[D_x=(18y)^2-4(-5)\bigl(-18y^2+2vy-v^2+12\bigr)=-36y^2+40vy-20v^2+240\ge0.\] Это вогнутая (коэффициент при $y^2$ равен $-36<0$) парабола по $y$; подходящий $y$ существует тогда и только тогда, когда её максимум неотрицателен. Максимум достигается при $y=\dfrac{5v}{9}$ и равен \[D_x^{\max}=240-\frac{80}{9}v^2.\] Условие $240-\dfrac{80}{9}v^2\ge0$ даёт $v^2\le27$, то есть $-3\sqrt{3}\le v\le 3\sqrt{3}$. Достижимость концов. При $x=-3\sqrt3,\ y=\dfrac{5\sqrt3}{3}$ имеем $R=\dfrac{16}{3}\ge0$ и $f=\sqrt{R}+y=3\sqrt3$. Замена $(x,y)\to(-x,-y)$ сохраняет $R$ и меняет знак $y$, поэтому в зеркальной точке $g=-3\sqrt3$. Квадратичная форма $-5x^2-18xy-17y^2$ отрицательно определена (определитель $4>0$, след $<0$), значит область $\{R\ge0\}$ — заполненный эллипс, компактный и связный; функции $f,g$ непрерывны, поэтому их образы — отрезки, а объединение — связный отрезок без пропусков. Значит множество всех принимаемых значений есть весь отрезок $[-3\sqrt3;\,3\sqrt3]$.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"ДВИ МГУ 2014 — вариант 4\",\"description\":\"Коллекция \\\"ДВИ МГУ 2014 — вариант 4\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 8 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/dvi-math-2014-v4\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T07:40:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"ДВИ МГУ 2014 — вариант 4\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ 2014 — вариант 4-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"ДВИ МГУ 2014 — вариант 4"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"dvi-math-2014-v4","serverCollection":{"id":"5c964a02-e838-44c1-8a1a-833371e3fc23","name":"ДВИ МГУ 2014 — вариант 4","code":"dvi-math-2014-v4","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"hidden_problem_count":0,"solved_count":0,"source":"ЦПК МГУ / мехмат","source_url":"https://cpk.msu.ru/files/2014/math_solutions.pdf","total_problem_count":8,"variant_batch":"dvi-2011-2019-v1","variant_label":"июль 2014 года, вариант 4","visible_problem_count":8,"year":2014},"created_at":"2026-06-10T07:40:00Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem_count":8,"visible_count":8,"total_count":8,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"c81dc7c0-df67-4900-b432-ae2899951827","collection_id":"5c964a02-e838-44c1-8a1a-833371e3fc23","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"c81dc7c0-df67-4900-b432-ae2899951827","short_id":17872,"task_number":14,"topic_id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":3,"content_text":"Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением \$\\sqrt{6+4\\sqrt{2}}\\left(8-4\\sqrt{2}\\right)\$.","answer_text":"\$8\$","answer":"\$8\$","solution_text":"Выделим под корнем полный квадрат. Будем искать \$a,b>0\$, для которых \$6+4\\sqrt{2}=(a+b\\sqrt{2})^2=a^2+2b^2+2ab\\sqrt{2}\$. Сравнивая рациональные и иррациональные части, получаем систему\n\\[\\begin{cases}a^2+2b^2=6,\\\\ 2ab=4,\\end{cases}\\iff\\begin{cases}a^2+2b^2=6,\\\\ ab=2.\\end{cases}\\]\nПодбором (или подстановкой \$a=2/b\$) находим \$a=2,\\ b=1\$: тогда \$ab=2\$ и \$a^2+2b^2=4+2=6\$. Значит\n\\[6+4\\sqrt{2}=(2+\\sqrt{2})^2.\\]\nТак как \$2+\\sqrt{2}>0\$, арифметический квадратный корень даёт именно положительное значение:\n\\[\\sqrt{6+4\\sqrt{2}}=\\big|2+\\sqrt{2}\\big|=2+\\sqrt{2}.\\]\nПодставим это в исходное выражение и вынесем множитель \$4\$ из второй скобки, чтобы воспользоваться формулой разности квадратов:\n\\[\\sqrt{6+4\\sqrt{2}}\\left(8-4\\sqrt{2}\\right)=(2+\\sqrt{2})\\cdot 4\\,(2-\\sqrt{2})=4\\,(2+\\sqrt{2})(2-\\sqrt{2})=4\\,(2^2-(\\sqrt{2})^2)=4\\cdot(4-2)=8.\\]\nПолученное число \$8\$ натуральное, что согласуется с условием.","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":1,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2014/math_solutions.pdf","variant":"июль 2014 года, вариант 4","variant_key":"2014-v4","year":2014},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","name":"Алгебраические преобразования","description":null},"tags":[{"id":"161ce81e-7848-4a50-990d-f97dfcbb50aa","code":"tag-22","name":"Преобразования выражений, включающих арифметические операции"},{"id":"da67531d-0011-489f-adab-84744c7aa977","code":"tag-208","name":"Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени"}]}},{"problem_id":"9746bc69-3a3c-47b7-b814-9a4477f4f939","collection_id":"5c964a02-e838-44c1-8a1a-833371e3fc23","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"9746bc69-3a3c-47b7-b814-9a4477f4f939","short_id":17873,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":3,"content_text":"Найдите максимальное значение функции \$\\log_{1/2}(x^2-8x+20)\$.","answer_text":"\$-2\$","answer":"\$-2\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":2,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2014/math_solutions.pdf","variant":"июль 2014 года, вариант 4","variant_key":"2014-v4","year":2014},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"b9f4a872-6dc7-4bce-9c84-97badc6cfe16","code":"tag-177","name":"Логарифмическая функция, её график"},{"id":"e505916c-c20a-4e24-b7cc-04fdbdd28d69","code":"tag-221","name":"Наименьшее, наибольшее значение функции во внутренней точке отрезка"}]}},{"problem_id":"e4bef8d6-3586-484b-b571-0ba47cec30a5","collection_id":"5c964a02-e838-44c1-8a1a-833371e3fc23","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"e4bef8d6-3586-484b-b571-0ba47cec30a5","short_id":17874,"task_number":16,"topic_id":"5bec8268-22ed-431c-af0b-14f090028c64","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Найдите все положительные \$x\$, удовлетворяющие неравенству \$x^{4x-5}>x^{-2}\$.","answer_text":"\$x \\in \\left(0,\\frac{3}{4}\\right)\\cup(1,+\\infty)\$","answer":"\$x \\in \\left(0,\\frac{3}{4}\\right)\\cup(1,+\\infty)\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":3,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2014/math_solutions.pdf","variant":"июль 2014 года, вариант 4","variant_key":"2014-v4","year":2014},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5bec8268-22ed-431c-af0b-14f090028c64","name":"Показательные неравенства","description":null},"tags":[{"id":"01f67e1b-7c60-4a01-aa9f-38a44d86ef0e","code":"tag-3","name":"Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции"},{"id":"b5fe0786-e50d-4ea9-9387-43a8baf56897","code":"tag-173","name":"Показательно-степенные неравенства"}]}},{"problem_id":"16b7d01b-13eb-4821-8202-26c0e701ce08","collection_id":"5c964a02-e838-44c1-8a1a-833371e3fc23","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"16b7d01b-13eb-4821-8202-26c0e701ce08","short_id":17875,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решите уравнение \$\\sin^2 x-\\sin x\\cos^2\\left(\\dfrac{5x}{4}-\\dfrac{17\\pi}{24}\\right)+\\dfrac{1}{4}=0\$.","answer_text":"\$x = \\frac{13\\pi}{6}+4\\pi n,\\ n\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$x = \\frac{13\\pi}{6}+4\\pi n,\\ n\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":4,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2014/math_solutions.pdf","variant":"июль 2014 года, вариант 4","variant_key":"2014-v4","year":2014},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"ce7c2741-ac03-4ffe-afe8-d71552c8416c","code":"tag-196","name":"Синус и косинус двойного угла"},{"id":"d3ec0e69-d667-41d1-ae0a-a79b81adcdd9","code":"tag-200","name":"Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов"}]}},{"problem_id":"1ea78e35-2947-4e52-a19e-6aa12a8bd293","collection_id":"5c964a02-e838-44c1-8a1a-833371e3fc23","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"1ea78e35-2947-4e52-a19e-6aa12a8bd293","short_id":17876,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Окружности \$\\Omega_1\$ и \$\\Omega_2\$ с центрами в точках \$O_1\$ и \$O_2\$ касаются внешним образом в точке \$A\$. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается \$\\Omega_1\$ и \$\\Omega_2\$ соответственно в точках \$B_1\$ и \$B_2\$. Общая касательная к окружностям, проходящая через точку \$A\$, пересекает отрезок \$B_1B_2\$ в точке \$C\$. Прямая, делящая угол \$ACO_2\$ пополам, пересекает прямые \$O_1B_1\$, \$O_1O_2\$, \$O_2B_2\$ в точках \$D_1\$, \$L\$, \$D_2\$ соответственно. Найдите отношение \$CD_1:CO_1\$, если известно, что \$LD_2=O_2D_2\$.","answer_text":"\$1 : 1\$","answer":"\$1 : 1\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":5,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2014/math_solutions.pdf","variant":"июль 2014 года, вариант 4","variant_key":"2014-v4","year":2014},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"9cea34fa-faa0-4a81-91ea-1e59dbb45b17","code":"tag-138","name":"Окружности"},{"id":"a7109bee-7556-446b-98b9-32d957694fec","code":"tag-155","name":"Подобие"},{"id":"f8c015b6-cb48-4711-a78c-7b5ceaaf5d71","code":"tag-237","name":"Окружности и системы окружностей"}]}},{"problem_id":"9cd2ede1-13fb-43e0-a117-11995f837739","collection_id":"5c964a02-e838-44c1-8a1a-833371e3fc23","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"9cd2ede1-13fb-43e0-a117-11995f837739","short_id":17877,"task_number":17,"topic_id":"ed59c219-7865-4cc3-a53c-7c8022853f23","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Найдите все положительные \$x\$, \$y\$, удовлетворяющие системе уравнений\n\\[\\begin{cases}x+y^{3/2}=54\\\\ x^{2/3}+y=18\\end{cases}\\]","answer_text":"\$x = 27,\\ y = 9\$","answer":"\$x = 27,\\ y = 9\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":6,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2014/math_solutions.pdf","variant":"июль 2014 года, вариант 4","variant_key":"2014-v4","year":2014},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ed59c219-7865-4cc3-a53c-7c8022853f23","name":"Системы уравнений","description":null},"tags":[{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"},{"id":"da67531d-0011-489f-adab-84744c7aa977","code":"tag-208","name":"Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени"},{"id":"e32afd53-73a2-409e-80f1-08c7daeb1e7f","code":"tag-219","name":"Свойства степени с действительным показателем"}]}},{"problem_id":"65fe93e1-594e-4fce-8e70-57bfd475bbf3","collection_id":"5c964a02-e838-44c1-8a1a-833371e3fc23","display_order":7,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"65fe93e1-594e-4fce-8e70-57bfd475bbf3","short_id":17878,"task_number":20,"topic_id":"57632be7-7c51-406a-8a6f-58e0708032ea","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"В основании прямой призмы лежит правильный треугольник со стороной 2. Высота призмы равна \$\\sqrt{3}\$. Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями боковых граней.","answer_text":"\$\\frac{\\sqrt{3}}{2}\$","answer":"\$\\frac{\\sqrt{3}}{2}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":7,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2014/math_solutions.pdf","variant":"июль 2014 года, вариант 4","variant_key":"2014-v4","year":2014},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"57632be7-7c51-406a-8a6f-58e0708032ea","name":"Расстояния, углы, координаты и векторы","description":null},"tags":[{"id":"720324ca-61cd-4043-8f06-78f5c54c5067","code":"tag-105","name":"Координаты вектора, скалярное произведение векторов, угол между векторами"},{"id":"b82fc06a-6477-4217-91df-ce2cd167ac51","code":"tag-176","name":"Правильная треугольная призма"},{"id":"e522d9cf-00ad-4fcc-915a-1fc6b0392749","code":"tag-222","name":"Расстояние между скрещивающимися прямыми"}]}},{"problem_id":"b7342af6-ed82-4cb4-9e40-d71131cb1810","collection_id":"5c964a02-e838-44c1-8a1a-833371e3fc23","display_order":8,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"b7342af6-ed82-4cb4-9e40-d71131cb1810","short_id":17879,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Пусть\n\\[f(x,y)=\\sqrt{-5x^2-17y^2-18xy+12}+y,\\]\n\\[g(x,y)=-\\sqrt{-5x^2-17y^2-18xy+12}+y.\\]\nНайдите все значения, которые может принимать хотя бы одна из этих функций.","answer_text":"\$[-3\\sqrt{3},3\\sqrt{3}]\$","answer":"\$[-3\\sqrt{3},3\\sqrt{3}]\$","solution_text":"$61","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":8,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2014/math_solutions.pdf","variant":"июль 2014 года, вариант 4","variant_key":"2014-v4","year":2014},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"1b7fbd5f-a0b9-46d8-b2b2-a9b8e6caf1e3","code":"tag-26","name":"Функция, область определения функции"},{"id":"284ceecf-629f-4c09-ad2e-ef7fae8a9de6","code":"tag-34","name":"Наименьшее, наибольшее значение функции на бесконечном промежутке"},{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"}]}}],"total":8},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ