Задача №17877

Найдите все положительные $x\text{,}$ $y\text{,}$ удовлетворяющие системе уравнений

$$\{\begin{array}{l}x+y^{3/2}=54\\ x^{2/3}+y=18\end{array}$$

Требуется найти все положительные $x,y\text{,}$ удовлетворяющие системе

$$\{\begin{array}{l}x+y^{3/2}=54,\\ x^{2/3}+y=18.\end{array}$$

ОДЗ: $x>0,y>0$ (тогда $y^{3/2}$ и $x^{2/3}$ определены и положительны).

Сделаем замену $u=x^{1/3}>0,v=y^{1/2}>0\text{,}$ то есть $x=u^3,y=v^2\text{.}$ Тогда $y^{3/2}=v^3$ и $x^{2/3}=u^2\text{,}$ и система принимает симметричный вид

$$\{\begin{array}{l}{u}^3+v^3=54,\\ u^2+v^2=18,\end{array}u>0,v>0.$$

Точка $(u,v)=(3,3)$ очевидно подходит: $3^3+3^3=54$ и $3^2+3^2=18\text{.}$ Покажем, что в области $u>0,v>0$ других решений нет.

Из второго уравнения $v=\sqrt{18-u^2}$ (нужно $0<u<\sqrt{18}$). Подставим в первое и рассмотрим

$$F(u)=u^3+(18-u^2{)}^{3/2}-54\text{на}u\in (0,\sqrt{18}).$$

В силу симметрии $u\leftrightarrow v$ функция $F$ симметрична относительно $u=v\text{,}$ то есть относительно $u=3\text{.}$ Точка $u=3$ является точкой касания кривой $u^3+v^3=54$ и окружности $u^2+v^2=18\text{:}$ множитель Лагранжа даёт $3u^2=2\lambda u,3v^2=2\lambda v\Rightarrow u=v\text{,}$ и единственная точка касания в первом квадранте — $u=v=3\text{.}$ Поэтому окружность не пересекает кривую трансверсально, а лишь касается её, и $F(u)\ge 0$ на всём интервале с равенством только при $u=3\text{.}$ Следовательно, единственное положительное решение — $u=v=3\text{.}$

(Алгебраически система $u^3+v^3=54,u^2+v^2=18$ имеет ровно три действительных решения; два из них содержат отрицательную координату и отбрасываются по условию $u,v>0\text{,}$ остаётся $u=v=3\text{.}$)

Возврат к исходным переменным: $x=u^3=27,y=v^2=9\text{.}$

Проверка подстановкой: $x+y^{3/2}=27+9^{3/2}=27+27=54\text{;}$ $x^{2/3}+y=27^{2/3}+9=9+9=18\text{.}$ Оба уравнения выполнены, $x=27>0,y=9>0$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x=27,y=9\text{.}$