Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
ДВИ МГУ
Найдите максимальное значение функции log1/2(x2−8x+20).
Обозначим внутреннюю функцию g(x)=x2−8x+20. Выделим полный квадрат:
g(x)=x2−8x+20=(x−4)2+4.ОДЗ: логарифм определён при g(x)>0. Так как (x−4)2≥0, имеем g(x)=(x−4)2+4≥4>0 при всех x∈R (дискриминант g равен 64−80=−16<0, корней нет, парабола всюду положительна). Значит область определения функции — вся числовая прямая, ограничений нет.
Основание логарифма 21∈(0,1), поэтому функция t↦log1/2t строго убывает. Следовательно композиция log1/2(g(x)) принимает наибольшее значение там, где аргумент g(x) наименьший.
Наименьшее значение g(x)=(x−4)2+4 равно 4 и достигается при x=4. Тогда максимум функции:
maxlog1/2(x2−8x+20)=log1/24=log1/2(21)−2=−2.Проверка экстремума через производную: f′(x)=(x2−8x+20)ln212x−8; единственная критическая точка x=4. При переходе через неё f′ меняет знак с + на − (числитель 2x−8 меняет знак, а множитель ln21<0), то есть это точка максимума.
Ответ: −2.