Задача №17876

Окружности ${\Omega }_1$ и ${\Omega }_2$ с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом в точке $A\text{.}$ Общая внешняя касательная к этим окружностям касается ${\Omega }_1$ и ${\Omega }_2$ соответственно в точках $B_1$ и $B_2\text{.}$ Общая касательная к окружностям, проходящая через точку $A\text{,}$ пересекает отрезок $B_1{B}_2$ в точке $C\text{.}$ Прямая, делящая угол $AC{O}_2$ пополам, пересекает прямые $O_1{B}_1\text{,}$ $O_1{O}_2\text{,}$ $O_2{B}_2$ в точках $D_1\text{,}$ $L\text{,}$ $D_2$ соответственно. Найдите отношение $C{D}_1:C{O}_1\text{,}$ если известно, что $L{D}_2=O_2{D}_2\text{.}$

Введём систему координат, в которой общая внешняя касательная — ось $Ox\text{.}$ Пусть радиусы окружностей равны $r_1$ и $r_2\text{.}$ Тогда

где $B_1,B_2$ — точки касания внешней касательной с ${\Omega }_1,{\Omega }_2\text{.}$ Из внешнего касания $|O_1{O}_2|=r_1+r_2\text{,}$ а так как разность ординат центров равна $r_2-r_1\text{,}$ получаем

Точка касания окружностей $A$ лежит на отрезке $O_1{O}_2$ и делит его в отношении $r_1:r_2\text{:}$

Внутренняя касательная в точке $A$ перпендикулярна линии центров $O_1{O}_2\text{.}$ Точка $C$ — пересечение этой касательной с $B_1{B}_2\text{.}$ Поскольку касательные отрезки из одной точки равны, $C{B}_1=CA$ и $C{B}_2=CA\text{,}$ откуда $C{B}_1=C{B}_2\text{,}$ то есть $C$ — середина отрезка $B_1{B}_2\text{:}$

(Это проверено: вектор $\overrightarrow{CA}$ ортогонален $O_1{O}_2\text{,}$ а длины $CA=C{B}_1=C{B}_2$ совпадают.)

Биссектриса угла $\angle AC{O}_2$ задаётся направлением

Прямая $C+\vec{b}s$ пересекает прямые $O_1{B}_1\text{,}$ $O_1{O}_2\text{,}$ $O_2{B}_2$ в точках $D_1,L,D_2$ соответственно (находятся как пересечения прямых).

Конфигурация подчиняется одному параметру $t=r_2/r_1$ (всё масштабно‑инвариантно). Условие задачи $L{D}_2=O_2{D}_2$ даёт уравнение на $t\text{.}$ Решая его, получаем единственное допустимое (невырожденное) значение

при котором биссектриса делит угол $\angle AC{O}_2$ на две равные части по $18^{\circ }$ (всё построение реально и невырождено; второй формальный корень $t=3$ отброшен — там прямая параллельна $O_1{B}_1\text{,}$ точка $D_1$ уходит в бесконечность, а равенство $L{D}_2=O_2{D}_2$ не выполняется — это разрывный ложный знак).

Подставляя это $t\text{,}$ вычисляем

Краевые/вырожденные случаи: проверено, что при искомом $t$ все пересечения $D_1,L,D_2$ конечны и лежат на нужных прямых, а посторонний корень $t=3$ исключён как несовместный с условием $L{D}_2=O_2{D}_2\text{.}$

Ответ: $C{D}_1:C{O}_1=1:1.$