Задача №17874

Найдите все положительные $x\text{,}$ удовлетворяющие неравенству $x^{4x-5}>x^{-2}\text{.}$

ОДЗ: основание степени положительно, поэтому $x>0$ (это и есть условие задачи). При $x>0$ обе части определены.

Перенесём всё в одну часть и сравним показатели при одинаковом положительном основании. Свойство показательной функции с основанием $x>0\text{:}$

то есть при $x>1$ большему показателю отвечает большее значение, при $0<x<1$ — меньшему, а при $x=1$ обе части равны $1$ и строгое неравенство невозможно.

Здесь $a=4x-5\text{,}$ $b=-2\text{,}$ значит

Исходное неравенство $x^{4x-5}>x^{-2}$ равносильно (при $x>0,x\ne 1$) условию

Это квадратное относительно $x$ неравенство с корнями $x=\frac{3}{4}$ и $x=1$ и положительным старшим коэффициентом, поэтому оно выполнено вне отрезка между корнями:

Пересекаем с ОДЗ $x>0$ и исключаем уже учтённую точку $x=1$ (в ней неравенство ложно):

Проверка границ. При $x=\frac{3}{4}$ показатели равны: $4x-5=-2\text{,}$ и неравенство $x^{-2}>x^{-2}$ ложно — точка не входит. При $x=1$ имеем $1>1$ — ложно, точка не входит. Контрольные значения: $x=\frac{1}{2}\text{:}$ $(\frac{1}{2}{)}^{-3}=8>(\frac{1}{2}{)}^{-2}=4$ — верно; $x=0,8\text{:}$ показатель $4x-5=-1,8>-2\text{,}$ но $0<x<1\text{,}$ поэтому $x^{-1,8}<x^{-2}$ — неравенство ложно, и точка $0,8$ действительно вне ответа; $x=2\text{:}$ $2^3=8>2^{-2}=\frac{1}{4}$ — верно.

Ответ: $x\in \left(0,\frac{3}{4}\right)\cup (1,+\infty )\text{.}$