Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ДВИ МГУ
Решите уравнение sin2x−sinxcos2(45x−2417π)+41=0.
Обозначим s=sinx и c=cos2(45x−2417π). Тогда уравнение принимает вид квадратного относительно s:
s2−cs+41=0.Это уравнение имеет действительный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:
D=c2−1⩾0.Но c=cos2(⋅)∈[0,1], поэтому c2⩽1, то есть D⩽0. Следовательно, решение возможно лишь при D=0, что даёт c=1 (значение c=−1 невозможно, так как c⩾0). При c=1 корень один:
s=2c=21.Итак, исходное уравнение равносильно системе двух условий:
⎩⎨⎧sinx=21,cos2(45x−2417π)=1.(Заметим, что левая часть уравнения определена при всех x, посторонних корней из-за ОДЗ не возникает; обе серии ниже подставляются в обе строки системы и должны выполняться одновременно.)
Первое условие: sinx=21 даёт две серии
x=6π+2πkилиx=65π+2πk,k∈Z.Второе условие: cos2(⋅)=1⟺45x−2417π=πm, откуда
x=54(2417π+πm)=3017π+54πm,m∈Z.Пересечём серии. Для серии x=6π+2πk подставим во второе условие:
45(6π+2πk)−2417π=245π+25πk−2417π=−2π+25πk=2π(5k−1).Это кратно π тогда и только тогда, когда 5k−1 чётно, то есть когда k нечётно: k=2t+1. Тогда
x=6π+2π(2t+1)=6π+2π+4πt=613π+4πt,t∈Z.Для серии x=65π+2πk подставим во второе условие:
45(65π+2πk)−2417π=2425π+25πk−2417π=3π+25πk.Делителю на π (то есть кратности π) мешает слагаемое 3π: выражение 31+25k ни при каком целом k не является целым (его знаменатель содержит множитель 3). Значит, эта серия не даёт ни одного решения.
Таким образом, остаётся единственное семейство решений
x=613π+4πn,n∈Z.(Период всего уравнения равен 4π: функция sin2x имеет период 2π, а cos2(45x−⋯) — период 10,8π=54π; наименьшее общее кратное равно 4π. Поэтому на каждом отрезке длины 4π ровно один корень, и записанное семейство исчерпывает все решения.)