Задача №17878

В основании прямой призмы лежит правильный треугольник со стороной 2. Высота призмы равна $\sqrt{3}\text{.}$ Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями боковых граней.

Введём координаты: основание $A(0,0,0)\text{,}$ $B(2,0,0)\text{,}$ $C(1,\sqrt{3},0)\text{;}$ верхняя грань $A_1(0,0,\sqrt{3})\text{,}$ $B_1(2,0,\sqrt{3})\text{,}$ $C_1(1,\sqrt{3},\sqrt{3})\text{.}$ Каждая боковая грань — прямоугольник $2\times \sqrt{3}$ с двумя диагоналями. Диагонали одной грани пересекаются, диагонали соседних граней либо пересекаются в общем боковом ребре, либо скрещиваются. Все скрещивающиеся пары по симметрии равноправны; возьмём диагональ $A{B}_1$ грани $AB{B}_1{A}_1$ и диагональ $B{C}_1$ грани $BC{C}_1{B}_1\text{.}$

Вектор между точками прямых $\overrightarrow{AB}=B-A=(2,0,0)\text{,}$ поэтому

Основания общего перпендикуляра попадают на параметры $t=0,625,s=0,375\in (0,1)\text{,}$ то есть лежат на самих диагоналях, а соединяющий вектор ортогонален обеим диагоналям — значит найденное расстояние реализуется именно между отрезками-диагоналями. По трёхкратной симметрии призмы любая скрещивающаяся пара диагоналей боковых граней даёт то же значение.