Пусть
f(x,y)=−5x2−17y2−18xy+12+y, g(x,y)=−−5x2−17y2−18xy+12+y.Найдите все значения, которые может принимать хотя бы одна из этих функций.
Обозначим t=−5x2−17y2−18xy+12≥0 (область определения: подкоренное выражение R=−5x2−17y2−18xy+12≥0). Тогда f=t+y, g=−t+y, и значение v принимается хотя бы одной функцией тогда и только тогда, когда v−y=±t, то есть (v−y)2=R при некоторых x,y. Знак ± автоматически охватывает обе функции, а равенство квадрату гарантирует R≥0, поэтому условие сводится к разрешимости уравнения
−5x2−18xy−18y2+2vy−v2+12=0относительно действительных x,y.
Рассмотрим его как квадратное относительно x: −5x2−18yx+(−18y2+2vy−v2+12)=0. Действительный x существует, когда дискриминант неотрицателен:
Dx=(18y)2−4(−5)(−18y2+2vy−v2+12)=−36y2+40vy−20v2+240≥0.Это вогнутая (коэффициент при y2 равен −36<0) парабола по y; подходящий y существует тогда и только тогда, когда её максимум неотрицателен. Максимум достигается при y=95v и равен
Dxmax=240−980v2.Условие 240−980v2≥0 даёт v2≤27, то есть −33≤v≤33.
Достижимость концов. При x=−33, y=353 имеем R=316≥0 и f=R+y=33. Замена (x,y)→(−x,−y) сохраняет R и меняет знак y, поэтому в зеркальной точке g=−33. Квадратичная форма −5x2−18xy−17y2 отрицательно определена (определитель 4>0, след <0), значит область {R≥0} — заполненный эллипс, компактный и связный; функции f,g непрерывны, поэтому их образы — отрезки, а объединение — связный отрезок без пропусков. Значит множество всех принимаемых значений есть весь отрезок [−33;33].
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
ДВИ МГУ