58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T646,Заметим, что квадратное слагаемое $ax^2$ принимает одинаковые значения в точках $x=\tfrac13$ и $x=-\tfrac13$, а линейное слагаемое $bx$ меняет знак. Поэтому удобно рассмотреть сумму и разность интересующих нас значений. Запишем \[f\left(\tfrac13\right)=a\cdot\tfrac19+b\cdot\tfrac13+c,\qquad f\left(-\tfrac13\right)=a\cdot\tfrac19-b\cdot\tfrac13+c.\] Вычитая второе равенство из первого, получаем \[f\left(\tfrac13\right)-f\left(-\tfrac13\right)=\frac{2b}{3}.\] Это соотношение не зависит от $a$ и $c$: они входят в $f\left(\tfrac13\right)$ и $f\left(-\tfrac13\right)$ одинаково и при вычитании сокращаются. Подставляя данные $b=7$ и $f\left(\tfrac13\right)=\dfrac{11}{3}$, находим \[f\left(-\tfrac13\right)=f\left(\tfrac13\right)-\frac{2b}{3}=\frac{11}{3}-\frac{2\cdot 7}{3}=\frac{11-14}{3}=-1.\] Отметим, что значение $f\left(-\tfrac13\right)$ определяется однозначно, хотя сами коэффициенты $a$ и $c$ по условию не фиксированы (известна лишь их комбинация $\dfrac{a}{9}+c=\dfrac{11}{3}-\dfrac{7}{3}=\dfrac43$). Это согласуется с тем, что $a$ и $c$ в искомую разность не входят. Ответ: $f\left(-\dfrac13\right)=-1$.5c:T65f,Введём обозначение $t=\log_4 3$. Тогда требуется вычислить $t^{\frac{t}{\log_2 t}}$. **Корректность выражения (ОДЗ).** Так как $1<3<4$, имеем $t=\log_4 3\in(0,1)$; в частности $t>0$, поэтому возведение $t$ в произвольную степень определено, а $\log_2 t$ существует. Далее $t<1$, значит $\log_2 t<0$, то есть $\log_2 t\neq 0$, и показатель $\dfrac{t}{\log_2 t}$ определён (знаменатель не обращается в нуль). Все операции законны. **Ключевое тождество.** Для любого основания $t>0$, $t\neq 1$, справедливо \[t^{\frac{1}{\log_2 t}}=2^{\log_2 t\cdot\frac{1}{\log_2 t}}=2^{1}=2,\] поскольку $t=2^{\log_2 t}$. **Преобразование выражения.** Вынесем множитель $t$ из показателя: \[t^{\frac{t}{\log_2 t}}=\left(t^{\frac{1}{\log_2 t}}\right)^{t}=2^{t}=2^{\log_4 3}.\] **Завершение.** Перейдём к основанию $4$: \[2^{\log_4 3}=\left(4^{1/2}\right)^{\log_4 3}=\left(4^{\log_4 3}\right)^{1/2}=3^{1/2}=\sqrt{3}.\] Таким образом, \[(\log_4 3)^{\frac{\log_4 3}{\log_2(\log_4 3)}}=\sqrt{3}.\] Посторонних корней или краевых случаев нет: задача на прямое вычисление, ОДЗ исходного выражения выполнено (см. выше). **Ответ:** $\sqrt{3}$.5d:Tbbc,Обозначим основание $b(x)=2x^2-2x+1$ и показатель $E(x)=x^2-2x$. Требуется решить неравенство $b(x)^{E(x)}\leqslant 1$. **Шаг 1. Основание всюду положительно.** Дискриминант квадратного трёхчлена $2x^2-2x+1$ равен $(-2)^2-4\cdot 2\cdot 1=-4<0$, а старший коэффициент положителен, поэтому \[b(x)=2x^2-2x+1=2\left(x-\tfrac12\right)^2+\tfrac12\geqslant \tfrac12>0\quad\text{при всех }x.\] Значит, выражение $b(x)^{E(x)}$ определено при любом действительном $x$ (степень положительного числа), и ОДЗ неравенства — вся прямая. **Шаг 2. Когда основание равно единице.** Имеем \[b(x)=1\iff 2x^2-2x=0\iff x(x-1)=0\iff x=0\ \text{или}\ x=1.\] В обеих этих точках $b(x)^{E(x)}=1^{E(x)}=1\leqslant 1$, то есть $x=0$ и $x=1$ — решения. **Шаг 3. Логарифмирование для $b\neq 1$.** Так как $b(x)>0$, неравенство $b^{E}\leqslant 1$ равносильно $E(x)\ln b(x)\leqslant 0$ (логарифм по натуральному основанию монотонен, а $\ln 1=0$). Знак $\ln b(x)$ совпадает со знаком разности $b(x)-1=2x^2-2x=2x(x-1)$, поэтому при $b\neq 1$ неравенство равносильно \[E(x)\cdot\bigl(b(x)-1\bigr)\leqslant 0,\qquad\text{т.е.}\qquad (x^2-2x)\cdot 2x(x-1)\leqslant 0.\] Разберём два взаимоисключающих случая по знаку основания. *Случай $b(x)>1$* (то есть $2x(x-1)>0$, что даёт $x<0$ или $x>1$). Здесь $\ln b>0$, и нужно $E(x)\leqslant 0$: \[x^2-2x\leqslant 0\iff x(x-2)\leqslant 0\iff 0\leqslant x\leqslant 2.\] Пересекая с $\{x<0\}\cup\{x>1\}$, получаем промежуток $(1,2]$. *Случай $01$); а отрезок $[1,2]$ включает оба конца, поскольку при $x=1$ основание равно единице, а при $x=2$ показатель равен нулю и $b^E=1$. **Ответ:** $x\in\{0\}\cup[1,2]$.5e:T940,Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Кроме того, должно быть определено $\operatorname{tg}2x$, то есть $\cos 2x\neq 0$. ОДЗ: $\cos 2x\neq 0$ (иначе не определён $\operatorname{tg}2x$). Преобразуем числитель, используя $\operatorname{tg}2x=\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}=\dfrac{2\sin x\cos x}{\cos 2x}$: \[\operatorname{tg}2x-2\sin x=\frac{2\sin x\cos x}{\cos 2x}-2\sin x=\frac{2\sin x(\cos x-\cos 2x)}{\cos 2x}.\] Поскольку $\cos 2x=2\cos^2 x-1$, имеем $\cos x-\cos 2x=-(2\cos^2 x-\cos x-1)=-(2\cos x+1)(\cos x-1)$. Значит, \[\operatorname{tg}2x-2\sin x=-\frac{2\sin x\,(2\cos x+1)(\cos x-1)}{\cos 2x}.\] Числитель равен нулю при $\sin x=0$, либо $\cos x=1$, либо $\cos x=-\dfrac12$ (множитель $\cos x-1$ даёт $\cos x=1$, что влечёт и $\sin x=0$). Проверим знаменатель в каждом случае. Заметим, что при $\sin x=0$ (то есть при $x=\pi k$) одновременно $2\sin x=0$ и $\operatorname{tg}2x=0$, поэтому знаменатель $\operatorname{tg}2x+2\sin x=0$ — эти значения посторонние и в ответ не входят. То же относится к $\cos x=1$, поскольку оно влечёт $\sin x=0$. Остаётся $\cos x=-\dfrac12$, то есть \[x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.\] При этом $\cos 2x=2\cdot\frac14-1=-\dfrac12\neq 0$ (ОДЗ выполнено), а знаменатель \[\operatorname{tg}2x+2\sin x=\frac{2\sin x\cos x}{\cos 2x}+2\sin x=\frac{2\sin x\,(\cos x+\cos 2x)}{\cos 2x}=\frac{2\sin x\,(-\tfrac12-\tfrac12)}{-\tfrac12}=4\sin x\neq 0,\] так как $\sin x=\pm\dfrac{\sqrt3}{2}\neq 0$. Следовательно, эти значения действительно являются решениями. Отдельно отметим, что значения $\cos x=\dfrac12$ ($x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n$) корнями не являются: они обращают в нуль не числитель, а знаменатель. Ответ: $x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$.5f:Tcb8,Обозначим скорость автобусов через $v$ (км/ч); пешеходы идут со скоростью $4$ км/ч. Пусть $x$ — искомое расстояние от Ивановки до Успенского (его Иван проходит пешком), тогда участок Покровское—Ивановка, который Иван проезжает на автобусе, равен $6-x$. Пусть $y$ — расстояние Покровское—Павловка (его Павел проходит пешком), тогда участок Павловка—Успенское (Павел едет на автобусе) равен $6-y$. **Шаг 1. Определяем путь Павла пешком.** Павел вышел в полдень и дошёл до Павловки ровно в $12{:}30$, то есть шёл $30$ мин $=\tfrac12$ ч со скоростью $4$ км/ч. Значит \[y=4\cdot\frac12=2\text{ (км)}.\] **Шаг 2. Находим скорость автобусов.** Из Павловки Павел ехал на автобусе с $12{:}30$ до $12{:}40$, то есть $10$ мин $=\tfrac16$ ч, и проехал $6-y=4$ км: \[6-y=v\cdot\frac16\ \Longrightarrow\ 4=\frac{v}{6}\ \Longrightarrow\ v=24\text{ (км/ч)}.\] **Шаг 3. Используем расписание Ивана.** Иван вышел в полдень и приехал в Успенское в $12{:}30$ (тот же момент, когда Павел дошёл до Павловки), то есть его путь занял $\tfrac12$ ч. Этот путь складывается из поездки на автобусе на участке $6-x$ (время $\dfrac{6-x}{v}$) и пешего участка $x$ (время $\dfrac{x}{4}$): \[\frac{6-x}{v}+\frac{x}{4}=\frac12.\] Подставляя $v=24$: \[\frac{6-x}{24}+\frac{x}{4}=\frac12.\] Умножив на $24$: \[(6-x)+6x=12\ \Longrightarrow\ 6+5x=12\ \Longrightarrow\ 5x=6\ \Longrightarrow\ x=\frac{6}{5}=1{,}2\text{ (км)}.\] **Проверка корректности.** Все величины положительны и физичны: $00$, $2a^2+2-b^2>0$) и положим $u=a^2$, $v=b^2$. Получим систему двух алгебраических уравнений; её единственное допустимое решение \[u=a^2=2,\qquad v=b^2=3,\] то есть $a=BC=\sqrt{2}$, $b=CA=\sqrt{3}$. Никаких посторонних корней при возведении в квадрат не возникает: вторая (отброшенная при квадрировании) ветвь не даёт положительных значений, удовлетворяющих обоим условиям существования медиан. **Проверка допустимости.** Стороны $a=\sqrt2,\ b=\sqrt3,\ c=1$ удовлетворяют неравенству треугольника; более того, $b^2=a^2+c^2$ ($3=2+1$), то есть треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине $A$. Прямым вычислением (например, разместив $A=(0,0)$, $B=(1,0)$, $C=(1,\sqrt2)$) получаем \[\cos\angle EAB=\cos\angle DBC=\sqrt{\tfrac{2}{3}},\] что совпадает с условием. Углы при основании конфигурации равны примерно $35{,}26^\circ$, что соответствует $\arccos\sqrt{2/3}$. Итак, $BC=\sqrt{2}$.61:Tff4,Преобразуем выражение под логарифмом: \[2(ax+1)-(x^2+a^2)=-(x^2-2ax+a^2)+2=2-(x-a)^2.\] Поэтому уравнение принимает вид \[\bigl|\ln\!\left(2-(x-a)^2\right)\bigr|=2x.\] **ОДЗ и знак правой части.** Логарифм определён при $2-(x-a)^2>0$. Кроме того, левая часть неотрицательна как модуль, значит $2x\geqslant 0$, то есть $x\geqslant 0$. **Сведение к выражению параметра через $x$.** Обозначим $u=2-(x-a)^2$, причём из ОДЗ $00$, строго возрастает от $1$ до $+\infty$. - $B_{-}\!: a=x-\sqrt{2-e^{-2x}}$; производная $1-\dfrac{e^{-x}}{\sqrt{2e^{2x}-1}}>0$, строго возрастает от $-1$ (при $x=0$) до $+\infty$. (В точке $x=0$ имеем $u=1$, и ветви A и B склеиваются: при $x=0$ получаем $a=\pm1$ — это одно решение $x=0$, а не два.) **Подсчёт решений.** «Малое» решение даёт непрерывная монотонная цепочка $A_{-}\to A_{+}\to B_{+}$, покрывающая все $a>-1$ ровно один раз, а «большое» решение даёт ветвь $B_{-}$, также покрывающая все $a>-1$ ровно один раз. Эти два решения различны при $a>-1$: ветви $B_{+}$ и $B_{-}$ совпали бы лишь при $\sqrt{2-e^{-2x}}=0$, что невозможно ($2-e^{-2x}\geqslant 1$). Поэтому: \[a<-1:\ 0\text{ решений};\qquad a=-1:\ \text{ровно }1\text{ решение};\qquad a>-1:\ 2\text{ решения}.\] **Граница $a=-1$.** При $a=-1$ уравнение есть $\bigl|\ln(2-(x+1)^2)\bigr|=2x$, ОДЗ: $0\leqslant x<\sqrt2-1$. При $x=0$: $2-1=1$, $|\ln 1|=0=2\cdot 0$ — корень. При $00$ при $x>0$, так что других корней нет. Итого ровно одно решение $x=0$. При $a<-1$ уже $f(0)=\bigl|\ln(2-a^2)\bigr|>0$, и на всём ОДЗ $f(x)=|\ln(2-(x-a)^2)|-2x>0$ — решений нет. **Ответ:** уравнение имеет ровно одно решение тогда и только тогда, когда $a=-1$.62:T1194,Введём прямоугольную систему координат, поместив нижнее основание призмы в плоскость $z=0$: \[A=(0,0,0),\qquad C=(1,0,0),\qquad B=\left(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2},0\right).\] Тогда $M$ — середина $AC$ — имеет координаты $M=\left(\tfrac12,0,0\right)$. Обозначим высоту призмы через $h>0$; вершины верхнего основания получаются сдвигом на вектор $(0,0,h)$: \[A'=(0,0,h),\qquad B'=\left(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2},h\right),\qquad C'=(1,0,h).\] **Где лежат точки $K$ и $L$.** Точки отмечены на рёбрах верхнего основания, а отрезок $KL$ параллелен $AC$, значит и стороне $A'C'$ верхнего основания. Если бы $K$ и $L$ лежали на боковых рёбрах над $A$ и $C$, то для $K=(0,0,z)$ было бы $KM^2=\tfrac14+z^2$ и $KB^2=1+z^2$, то есть $KM0.\] Значение \(h=-\tfrac{\sqrt2}{2}$ отбрасываем как отрицательное. Итак, $t=\tfrac12$: точки $K$ и $L$ — середины рёбер $A'B'$ и $C'B'$, а высота призмы $h=\dfrac{\sqrt2}{2}$. Получаем \[K=\left(\tfrac14,\tfrac{\sqrt3}{4},\tfrac{\sqrt2}{2}\right),\qquad L=\left(\tfrac34,\tfrac{\sqrt3}{4},\tfrac{\sqrt2}{2}\right).\] Прямой проверкой убеждаемся, что $KM=KB=MB=\dfrac{\sqrt3}{2}$ — треугольник $KMB$ действительно правильный (а заодно $LM=LB=\dfrac{\sqrt3}{2}$, $KL=\dfrac12$). **Объём тетраэдра $KLMB$.** Объём вычислим как одну шестую модуля смешанного произведения векторов, выходящих из вершины $K$: \[\overrightarrow{KL}=\left(\tfrac12,0,0\right),\quad \overrightarrow{KM}=\left(\tfrac14,-\tfrac{\sqrt3}{4},-\tfrac{\sqrt2}{2}\right),\quad \overrightarrow{KB}=\left(\tfrac14,\tfrac{\sqrt3}{4},-\tfrac{\sqrt2}{2}\right).\] Поскольку первый вектор имеет лишь $x$-компоненту, смешанное произведение равно \[\left(\overrightarrow{KL},\overrightarrow{KM},\overrightarrow{KB}\right)=\frac12\cdot\det\!\begin{pmatrix}-\tfrac{\sqrt3}{4}&-\tfrac{\sqrt2}{2}\\\tfrac{\sqrt3}{4}&-\tfrac{\sqrt2}{2}\end{pmatrix}=\frac12\left(\tfrac{\sqrt3}{4}\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}+\tfrac{\sqrt2}{2}\cdot\tfrac{\sqrt3}{4}\right)=\frac12\cdot\frac{\sqrt6}{4}=\frac{\sqrt6}{8}.\] Следовательно, \[V_{KLMB}=\frac16\left|\frac{\sqrt6}{8}\right|=\frac{\sqrt6}{48}.\] **Ответ:** $\;\dfrac{\sqrt6}{48}$.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"ДВИ МГУ 2013 — вариант 5\",\"description\":\"Коллекция \\\"ДВИ МГУ 2013 — вариант 5\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 8 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/dvi-math-2013-v5\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T07:00:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"ДВИ МГУ 2013 — вариант 5\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ 2013 — вариант 5-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"ДВИ МГУ 2013 — вариант 5"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"dvi-math-2013-v5","serverCollection":{"id":"73fdc897-b6ef-44cb-bd22-ab086152217d","name":"ДВИ МГУ 2013 — вариант 5","code":"dvi-math-2013-v5","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"hidden_problem_count":0,"solved_count":0,"source":"ЦПК МГУ / мехмат","source_url":"https://pk.math.msu.ru/wp-content/uploads/2025/07/dvi_2013_dop.pdf","total_problem_count":8,"variant_batch":"dvi-2011-2019-v1","variant_label":"резервный день, вариант Р131","visible_problem_count":8,"year":2013},"created_at":"2026-06-10T07:00:00Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:46.488821Z","problem_count":8,"visible_count":8,"total_count":8,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"5b1df2e0-919b-4bd0-ac21-8359a524af10","collection_id":"73fdc897-b6ef-44cb-bd22-ab086152217d","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"5b1df2e0-919b-4bd0-ac21-8359a524af10","short_id":17840,"task_number":14,"topic_id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":3,"content_text":"Про квадратный трехчлен \$f(x)=ax^2+bx+c\$ известно, что \$b=7\$ и что \$f\\left(\\frac{1}{3}\\right)=\\frac{11}{3}\$. Найдите \$f\\left(-\\frac{1}{3}\\right)\$.","answer_text":"\$-1\$","answer":"\$-1\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":1,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"резервный день, вариант Р131","variant_key":"2013-v5","year":2013},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","name":"Алгебраические преобразования","description":null},"tags":[{"id":"161ce81e-7848-4a50-990d-f97dfcbb50aa","code":"tag-22","name":"Преобразования выражений, включающих арифметические операции"},{"id":"728bc58c-1ce7-411d-8367-ebc8e9dfd104","code":"tag-106","name":"Квадратные уравнения"}]}},{"problem_id":"26d53a4e-babb-4158-8d6d-b3c75a22caf4","collection_id":"73fdc897-b6ef-44cb-bd22-ab086152217d","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"26d53a4e-babb-4158-8d6d-b3c75a22caf4","short_id":17841,"task_number":14,"topic_id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Вычислите \$(\\log_4 3)^{\\frac{\\log_4 3}{\\log_2(\\log_4 3)}}\$.","answer_text":"\$\\sqrt{3}\$","answer":"\$\\sqrt{3}\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":2,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"резервный день, вариант Р131","variant_key":"2013-v5","year":2013},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","name":"Вычисления и оценки","description":null},"tags":[{"id":"6d33b13a-8bf1-4ff0-846e-908c093f56fc","code":"tag-98","name":"Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень"},{"id":"e082d742-24ab-47dd-aa86-811e2d0d11d4","code":"tag-215","name":"Логарифм числа"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"}]}},{"problem_id":"5870a091-5fdf-4c5e-b4d2-830fed811d9c","collection_id":"73fdc897-b6ef-44cb-bd22-ab086152217d","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"5870a091-5fdf-4c5e-b4d2-830fed811d9c","short_id":17842,"task_number":16,"topic_id":"5bec8268-22ed-431c-af0b-14f090028c64","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решите неравенство\n\\[(2x^2-2x+1)^{x^2-2x}\\leqslant 1.\\]","answer_text":"\$x \\in \\{0\\}\\cup[1,2]\$","answer":"\$x \\in \\{0\\}\\cup[1,2]\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":3,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"резервный день, вариант Р131","variant_key":"2013-v5","year":2013},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5bec8268-22ed-431c-af0b-14f090028c64","name":"Показательные неравенства","description":null},"tags":[{"id":"71f19a1a-c6b7-4320-9e0b-3cb73213fa41","code":"tag-104","name":"Показательные неравенства"},{"id":"b5fe0786-e50d-4ea9-9387-43a8baf56897","code":"tag-173","name":"Показательно-степенные неравенства"}]}},{"problem_id":"b71e18a8-c6a1-424a-8d89-269701ffac12","collection_id":"73fdc897-b6ef-44cb-bd22-ab086152217d","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"b71e18a8-c6a1-424a-8d89-269701ffac12","short_id":17843,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Решите уравнение\n\\[\\frac{\\operatorname{tg}2x-2\\sin x}{\\operatorname{tg}2x+2\\sin x}=0.\\]","answer_text":"\$x = \\pm\\frac{2\\pi}{3} + 2\\pi n,\\ n\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$x = \\pm\\frac{2\\pi}{3} + 2\\pi n,\\ n\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":4,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"резервный день, вариант Р131","variant_key":"2013-v5","year":2013},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"562d9797-2caf-4ba7-9fa3-a4c33d8cc0a6","code":"tag-80","name":"Область определения уравнения"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"9f2c32f9-1c81-45d4-bfd9-70a4620bebf8","code":"tag-142","name":"Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители"},{"id":"b44bdba8-2ba0-4cd7-a541-f58966163e08","code":"tag-170","name":"Преобразования тригонометрических выражений"}]}},{"problem_id":"8ef627e4-7730-4866-9ea0-6c886d10cff7","collection_id":"73fdc897-b6ef-44cb-bd22-ab086152217d","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"8ef627e4-7730-4866-9ea0-6c886d10cff7","short_id":17844,"task_number":15,"topic_id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Из села Покровское до села Успенское ведут две дороги: одна через деревню Ивановка, другая через деревню Павловка — обе длиной в \$6\$ км. Иван и Павел отправились ровно в полдень из Покровского в Успенское, Иван — через Ивановку, Павел — через Павловку. Иван сразу сел на автобус, доехал до Ивановки, а оттуда пошел в Успенское пешком. Павел же пошел до Павловки пешком, дошел до нее в \$12{:}30\$ — ровно в тот момент, когда Иван приехал в Успенское, тут же сел в Павловке на автобус и поехал в Успенское, куда приехал в \$12{:}40\$. Найдите расстояние от Ивановки до Успенского, если известно, что Иван и Павел шли со скоростью \$4\$ км/ч, а автобусы двигались с равными постоянными скоростями.","answer_text":"\$1{,}2\\text{ км}\$","answer":"\$1{,}2\\text{ км}\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":5,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"резервный день, вариант Р131","variant_key":"2013-v5","year":2013},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","name":"Текстовые задачи","description":null},"tags":[{"id":"0947cb7d-1121-40d3-91de-9e7503353a95","code":"tag-8","name":"Задачи на движение по прямой"},{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"}]}},{"problem_id":"f3045f85-8f5f-413d-beec-4b5e1f9f0e5d","collection_id":"73fdc897-b6ef-44cb-bd22-ab086152217d","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"f3045f85-8f5f-413d-beec-4b5e1f9f0e5d","short_id":17845,"task_number":18,"topic_id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"В треугольнике \$ABC\$ проведены медианы \$AE\$ и \$BD\$. Известно, что углы \$\\angle EAB\$ и \$\\angle DBC\$ равны, причем их косинусы равны \$\\sqrt{\\frac{2}{3}}\$. Найдите \$BC\$, если \$AB=1\$.","answer_text":"\$BC = \\sqrt{2}\$","answer":"\$BC = \\sqrt{2}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":6,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"резервный день, вариант Р131","variant_key":"2013-v5","year":2013},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","name":"Треугольники","description":null},"tags":[{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"},{"id":"a42676d8-721d-416b-9509-d365704bb645","code":"tag-151","name":"Треугольник"}]}},{"problem_id":"b5d395bc-bc6c-49a9-9e14-e2df4bdbeadb","collection_id":"73fdc897-b6ef-44cb-bd22-ab086152217d","display_order":7,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"b5d395bc-bc6c-49a9-9e14-e2df4bdbeadb","short_id":17846,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"Найдите все значения параметра \$a\$, при которых уравнение\n\\[\\left|\\ln\\left(2(ax+1)-(x^2+a^2)\\right)\\right|=2x\\]\nимеет ровно одно решение.","answer_text":"\$a = -1\$","answer":"\$a = -1\$","solution_text":"$61","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":7,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"резервный день, вариант Р131","variant_key":"2013-v5","year":2013},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"ab3265df-d5a6-4866-b588-c54002df4a81","code":"tag-159","name":"Левая и правая части в качестве отдельных графиков"},{"id":"c8cd9c24-fac7-48ab-b79b-6c5fbd73b985","code":"tag-189","name":"Логарифмические уравнения"},{"id":"cbfcdc3f-7c60-42fd-8b0c-b0e16a570b75","code":"tag-195","name":"Уравнение с модулем"}]}},{"problem_id":"dd5715b5-151f-4354-9128-40ebf6c68e77","collection_id":"73fdc897-b6ef-44cb-bd22-ab086152217d","display_order":8,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"dd5715b5-151f-4354-9128-40ebf6c68e77","short_id":17847,"task_number":20,"topic_id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"В основании прямой призмы лежит правильный треугольник \$ABC\$ со стороной \$1\$. На двух ребрах верхнего основания отмечены точки \$K\$ и \$L\$, так что \$KL\\parallel AC\$. Известно, что треугольник \$KMB\$, где \$M\$ — середина ребра \$AC\$, является правильным. Найдите объем тетраэдра \$KLMB\$.","answer_text":"\$\\dfrac{\\sqrt{6}}{48}\$","answer":"\$\\dfrac{\\sqrt{6}}{48}\$","solution_text":"$62","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":8,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"резервный день, вариант Р131","variant_key":"2013-v5","year":2013},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","name":"Многогранники","description":null},"tags":[{"id":"b82fc06a-6477-4217-91df-ce2cd167ac51","code":"tag-176","name":"Правильная треугольная призма"},{"id":"d910c52b-60cc-47a9-b58b-f21ab0d0fc24","code":"tag-205","name":"Треугольная пирамида"},{"id":"fccaf147-c5ab-4708-b5a2-315cacf9246c","code":"tag-242","name":"Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы"}]}}],"total":8},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ