В основании прямой призмы лежит правильный треугольник ABC со стороной 1. На двух ребрах верхнего основания отмечены точки K и L, так что KL∥AC. Известно, что треугольник KMB, где M — середина ребра AC, является правильным. Найдите объем тетраэдра KLMB.
Введём прямоугольную систему координат, поместив нижнее основание призмы в плоскость z=0:
A=(0,0,0),C=(1,0,0),B=(21,23,0).Тогда M — середина AC — имеет координаты M=(21,0,0). Обозначим высоту призмы через h>0; вершины верхнего основания получаются сдвигом на вектор (0,0,h):
A′=(0,0,h),B′=(21,23,h),C′=(1,0,h).Где лежат точки K и L. Точки отмечены на рёбрах верхнего основания, а отрезок KL параллелен AC, значит и стороне A′C′ верхнего основания. Если бы K и L лежали на боковых рёбрах над A и C, то для K=(0,0,z) было бы KM2=41+z2 и KB2=1+z2, то есть KM<KB при любом z, и треугольник KMB не мог бы быть правильным. Поэтому K и L лежат на двух сторонах треугольника A′B′C′, выходящих из общей вершины B′: пусть K∈A′B′, L∈C′B′, причём в силу KL∥A′C′ обе точки делят свои рёбра в одном отношении. Запишем
K=B′+t(A′−B′),L=B′+t(C′−B′),t∈[0,1].При этом KL∥A′C′∥AC выполнено автоматически, а ∣KL∣=t⋅∣A′C′∣=t.
Условие правильности треугольника KMB. Сторона MB — это медиана (она же высота) правильного треугольника ABC со стороной 1, поэтому
MB2=(21−21)2+(23)2=43.Подставляя координаты, получаем
KB2=t2+h2,KM2=t2−23t+43+h2.Треугольник KMB правильный тогда и только тогда, когда KB2=MB2 и KM2=MB2:
⎩⎨⎧t2+h2=43,t2−23t+43+h2=43.Вычитая первое уравнение из второго, находим −23t+43=43−43, то есть −23t+43=0, откуда t=21. Тогда из первого уравнения
h2=43−t2=43−41=21,h=21=22>0.Значение h=−22 отбрасываем как отрицательное. Итак, t=21: точки K и L — середины рёбер A′B′ и C′B′, а высота призмы h=22. Получаем
K=(41,43,22),L=(43,43,22).Прямой проверкой убеждаемся, что KM=KB=MB=23 — треугольник KMB действительно правильный (а заодно LM=LB=23, KL=21).
Объём тетраэдра KLMB. Объём вычислим как одну шестую модуля смешанного произведения векторов, выходящих из вершины K:
KL=(21,0,0),KM=(41,−43,−22),KB=(41,43,−22).Поскольку первый вектор имеет лишь x-компоненту, смешанное произведение равно
(KL,KM,KB)=21⋅det(−4343−22−22)=21(43⋅22+22⋅43)=21⋅46=86.Следовательно,
VKLMB=6186=486.Ответ: 486.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ