Задача №17841

Вычислите $({\log }_{4}3{)}^{{\log }_{4}3/{\log }_2({\log }_{4}3)}\text{.}$

Введём обозначение $t={\log }_{4}3\text{.}$ Тогда требуется вычислить $t^{t/{\log }_{2}t}\text{.}$

Корректность выражения (ОДЗ). Так как $1<3<4\text{,}$ имеем $t={\log }_{4}3\in (0,1)\text{;}$ в частности $t>0\text{,}$ поэтому возведение $t$ в произвольную степень определено, а ${\log }_{2}t$ существует. Далее $t<1\text{,}$ значит ${\log }_{2}t<0\text{,}$ то есть ${\log }_{2}t\ne 0\text{,}$ и показатель $\frac{t}{{\log }_{2}t}$ определён (знаменатель не обращается в нуль). Все операции законны.

Ключевое тождество. Для любого основания $t>0\text{,}$ $t\ne 1\text{,}$ справедливо

поскольку $t=2^{{\log }_{2}t}\text{.}$

Преобразование выражения. Вынесем множитель $t$ из показателя:

Завершение. Перейдём к основанию $4\text{:}$

Таким образом,

Посторонних корней или краевых случаев нет: задача на прямое вычисление, ОДЗ исходного выражения выполнено (см. выше).

Ответ: $\sqrt{3}\text{.}$