Вычислите (_4 3)^((_4 3)/(_2(_4 3))).

Введём обозначение t=_4 3. Тогда требуется вычислить t^((t)/(_2 t)). **Корректность выражения (ОДЗ).** Так как 1<3<4, имеем t=_4 3in(0,1); в частности t>0, поэтому возведение t в произвольную степень определено, а _2 t существует. Далее t<1, значит _2 t<0, то есть _2 t!= 0, и показатель (t)/(_2 t) определён (знаменатель не обращается в нуль). Все операции законны. **Ключевое тождество.** Для любого основания t>0, t!= 1, справедливо t^((1)/(_2 t))=2^(_2 t*(1)/(_2 t))=2^(1)=2, поскольку t=2^(_2 t). **Преобразование выражения.** Вынесем множитель t из показателя: t^((t)/(_2 t))=(t^((1)/(_2 t)))^(t)=2^(t)=2^(_4 3). **Завершение.** Перейдём к основанию 4: 2^(_4 3)=(4^(1/2))^(_4 3)=(4^(_4 3))^(1/2)=3^(1/2)=sqrt(3). Таким образом, (_4 3)^((_4 3)/(_2(_4 3)))=sqrt(3). Посторонних корней или краевых случаев нет: задача на прямое вычисление, ОДЗ исходного выражения выполнено (см. выше). **Ответ:** sqrt(3).

\sqrt{3}