Задача №17842

Решите неравенство

$$(2x^2-2x+1{)}^{x^2-2x}⩽1.$$

Обозначим основание $b(x)=2x^2-2x+1$ и показатель $E(x)=x^2-2x\text{.}$ Требуется решить неравенство $b(x{)}^{E(x)}⩽1\text{.}$

Шаг 1. Основание всюду положительно. Дискриминант квадратного трёхчлена $2x^2-2x+1$ равен $(-2{)}^2-4\cdot 2\cdot 1=-4<0\text{,}$ а старший коэффициент положителен, поэтому

$$b(x)=2x^2-2x+1=2{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}⩾\frac{1}{2}>0\text{при всех }x.$$

Значит, выражение $b(x{)}^{E(x)}$ определено при любом действительном $x$ (степень положительного числа), и ОДЗ неравенства — вся прямая.

Шаг 2. Когда основание равно единице. Имеем

$$b(x)=1⟺2x^2-2x=0⟺x(x-1)=0⟺x=0\text{или}x=1.$$

В обеих этих точках $b(x{)}^{E(x)}=1^{E(x)}=1⩽1\text{,}$ то есть $x=0$ и $x=1$ — решения.

Шаг 3. Логарифмирование для $b\ne 1\text{.}$ Так как $b(x)>0\text{,}$ неравенство $b^E⩽1$ равносильно $E(x)\ln b(x)⩽0$ (логарифм по натуральному основанию монотонен, а $\ln 1=0$). Знак $\ln b(x)$ совпадает со знаком разности $b(x)-1=2x^2-2x=2x(x-1)\text{,}$ поэтому при $b\ne 1$ неравенство равносильно

$$E(x)\cdot (b(x)-1)⩽0,\text{т.е.}(x^2-2x)\cdot 2x(x-1)⩽0.$$

Разберём два взаимоисключающих случая по знаку основания.

Случай $b(x)>1$ (то есть $2x(x-1)>0\text{,}$ что даёт $x<0$ или $x>1$). Здесь $\ln b>0\text{,}$ и нужно $E(x)⩽0\text{:}$

$$x^2-2x⩽0⟺x(x-2)⩽0⟺0⩽x⩽2.$$

Пересекая с $\{x<0\}\cup \{x>1\}\text{,}$ получаем промежуток $(1,2]\text{.}$

Случай $0<b(x)<1$ (то есть $2x(x-1)<0\text{,}$ что даёт $0<x<1$). Здесь $\ln b<0\text{,}$ и нужно $E(x)⩾0\text{:}$

$$x^2-2x⩾0⟺x⩽0\text{или}x⩾2.$$

Пересечение с интервалом $(0,1)$ пусто — на этом интервале решений нет.

Шаг 4. Объединение. Складывая найденное в шагах 2 и 3:

$$\{0\}\cup \{1\}\cup (1,2]=\{0\}\cup [1,2].$$

Точка $x=0$ изолирована: её окрестность $(0,1)$ в ответ не входит (там $0<b<1$ и $E<0\text{,}$ так что $b^E>1$); а отрезок $[1,2]$ включает оба конца, поскольку при $x=1$ основание равно единице, а при $x=2$ показатель равен нулю и $b^E=1\text{.}$

Ответ: $x\in \{0\}\cup [1,2]\text{.}$