Задача №17844

Из села Покровское до села Успенское ведут две дороги: одна через деревню Ивановка, другая через деревню Павловка — обе длиной в $6$ км. Иван и Павел отправились ровно в полдень из Покровского в Успенское, Иван — через Ивановку, Павел — через Павловку. Иван сразу сел на автобус, доехал до Ивановки, а оттуда пошел в Успенское пешком. Павел же пошел до Павловки пешком, дошел до нее в $12:30$ — ровно в тот момент, когда Иван приехал в Успенское, тут же сел в Павловке на автобус и поехал в Успенское, куда приехал в $12:40\text{.}$ Найдите расстояние от Ивановки до Успенского, если известно, что Иван и Павел шли со скоростью $4$ км/ч, а автобусы двигались с равными постоянными скоростями.

Обозначим скорость автобусов через $v$ (км/ч); пешеходы идут со скоростью $4$ км/ч. Пусть $x$ — искомое расстояние от Ивановки до Успенского (его Иван проходит пешком), тогда участок Покровское—Ивановка, который Иван проезжает на автобусе, равен $6-x\text{.}$ Пусть $y$ — расстояние Покровское—Павловка (его Павел проходит пешком), тогда участок Павловка—Успенское (Павел едет на автобусе) равен $6-y\text{.}$

Шаг 1. Определяем путь Павла пешком.
Павел вышел в полдень и дошёл до Павловки ровно в $12:30\text{,}$ то есть шёл $30$ мин $=\frac{1}{2}$ ч со скоростью $4$ км/ч. Значит

Шаг 2. Находим скорость автобусов.
Из Павловки Павел ехал на автобусе с $12:30$ до $12:40\text{,}$ то есть $10$ мин $=\frac{1}{6}$ ч, и проехал $6-y=4$ км:

Шаг 3. Используем расписание Ивана.
Иван вышел в полдень и приехал в Успенское в $12:30$ (тот же момент, когда Павел дошёл до Павловки), то есть его путь занял $\frac{1}{2}$ ч. Этот путь складывается из поездки на автобусе на участке $6-x$ (время $\frac{6-x}{v}$) и пешего участка $x$ (время $\frac{x}{4}$):

Подставляя $v=24\text{:}$

Умножив на $24\text{:}$

Проверка корректности. Все величины положительны и физичны: $0<x=1,2<6\text{,}$ $0<y=2<6\text{,}$ скорость автобуса $24$ км/ч больше скорости пешехода $4$ км/ч. Система определена однозначно: два условия для Павла дают $y=2$ и $v=24\text{,}$ после чего уравнение для Ивана линейно по $x$ и даёт единственный корень. Посторонних решений нет.

Контрольная сверка времён: Иван едет $6-1,2=4,8$ км за $4,8/24=0,2$ ч $=12$ мин и идёт $1,2$ км за $1,2/4=0,3$ ч $=18$ мин, итого $30$ мин — приезжает в $12:30\text{;}$ Павел идёт $2$ км за $30$ мин (до $12:30$) и едет $4$ км за $10$ мин (до $12:40$). Все условия задачи выполнены.

Расстояние от Ивановки до Успенского равно $1,2$ км.