Из села Покровское до села Успенское ведут две дороги: одна через деревню Ивановка, другая через деревню Павловка — обе длиной в 6 км. Иван и Павел отправились ровно в полдень из Покровского в Успенское, Иван — через Ивановку, Павел — через Павловку. Иван сразу сел на автобус, доехал до Ивановки, а оттуда пошел в Успенское пешком. Павел же пошел до Павловки пешком, дошел до нее в 12:30 — ровно в тот момент, когда Иван приехал в Успенское, тут же сел в Павловке на автобус и поехал в Успенское, куда приехал в 12:40. Найдите расстояние от Ивановки до Успенского, если известно, что Иван и Павел шли со скоростью 4 км/ч, а автобусы двигались с равными постоянными скоростями.

Обозначим скорость автобусов через v (км/ч); пешеходы идут со скоростью 4 км/ч. Пусть x — искомое расстояние от Ивановки до Успенского (его Иван проходит пешком), тогда участок Покровское—Ивановка, который Иван проезжает на автобусе, равен 6-x. Пусть y — расстояние Покровское—Павловка (его Павел проходит пешком), тогда участок Павловка—Успенское (Павел едет на автобусе) равен 6-y. **Шаг 1. Определяем путь Павла пешком.** Павел вышел в полдень и дошёл до Павловки ровно в 12:30, то есть шёл 30 мин =12 ч со скоростью 4 км/ч. Значит y=4*12=2 (км). **Шаг 2. Находим скорость автобусов.** Из Павловки Павел ехал на автобусе с 12:30 до 12:40, то есть 10 мин =16 ч, и проехал 6-y=4 км: 6-y=v*16 4=(v)/(6) v=24 (км/ч). **Шаг 3. Используем расписание Ивана.** Иван вышел в полдень и приехал в Успенское в 12:30 (тот же момент, когда Павел дошёл до Павловки), то есть его путь занял 12 ч. Этот путь складывается из поездки на автобусе на участке 6-x (время (6-x)/(v)) и пешего участка x (время (x)/(4)): (6-x)/(v)+(x)/(4)=12. Подставляя v=24: (6-x)/(24)+(x)/(4)=12. Умножив на 24: (6-x)+6x=12 6+5x=12 5x=6 x=(6)/(5)=1,2 (км). **Проверка корректности.** Все величины положительны и физичны: 0<x=1,2<6, 0<y=2<6, скорость автобуса 24 км/ч больше скорости пешехода 4 км/ч. Система определена однозначно: два условия для Павла дают y=2 и v=24, после чего уравнение для Ивана линейно по x и даёт единственный корень. Посторонних решений нет. Контрольная сверка времён: Иван едет 6-1,2=4,8 км за 4,8/24=0,2 ч =12 мин и идёт 1,2 км за 1,2/4=0,3 ч =18 мин, итого 30 мин — приезжает в 12:30; Павел идёт 2 км за 30 мин (до 12:30) и едет 4 км за 10 мин (до 12:40). Все условия задачи выполнены. Расстояние от Ивановки до Успенского равно 1,2 км.

1{,}2\text{ км}