Найдите все значения параметра a, при которых уравнение |ln(2(ax+1)-(x^2+a^2))|=2x имеет ровно одно решение.

Преобразуем выражение под логарифмом: 2(ax+1)-(x^2+a^2)=-(x^2-2ax+a^2)+2=2-(x-a)^2. Поэтому уравнение принимает вид |ln(2-(x-a)^2)|=2x. **ОДЗ и знак правой части.** Логарифм определён при 2-(x-a)^2>0. Кроме того, левая часть неотрицательна как модуль, значит 2x 0, то есть x 0. **Сведение к выражению параметра через x.** Обозначим u=2-(x-a)^2, причём из ОДЗ 0<u 2 (максимум u=2 при x=a). Равенство |ln u|=2x при x 0 равносильно ln u=+- 2x, то есть u=e^(2x) или u=e^(-2x). Отсюда (x-a)^2=2-e^(2x) (ветвь A) или (x-a)^2=2-e^(-2x) (ветвь B), и в каждой ветви a=x+-sqrt(2-e^(2x)) (0 x (ln 2)/(2)), a=x+-sqrt(2-e^(-2x)) (x 0). (Ветвь A существует лишь при 2-e^(2x) 0, то есть xin[0,(ln 2)/(2)]; ветвь B — при всех x 0, так как 2-e^(-2x)in[1,2).) Будем считать число решений x 0 для фиксированного a как число пересечений горизонтали a=const с графиками этих четырёх функций a(x). Все четыре функции монотонны: - A_(+): a=x+sqrt(2-e^(2x)) убывает от 1 (при x=0) до (2)/(2); диапазон ain[(2)/(2),1]. - A_(-): a=x-sqrt(2-e^(2x)) возрастает от -1 (при x=0) до (2)/(2); диапазон ain[-1,(2)/(2)]. - B_(+): a=x+sqrt(2-e^(-2x)); производная 1+(e^(-x))/(sqrt(2e^(2x)-1))>0, строго возрастает от 1 до +inf. - B_(-): a=x-sqrt(2-e^(-2x)); производная 1-(e^(-x))/(sqrt(2e^(2x)-1))>0, строго возрастает от -1 (при x=0) до +inf. (В точке x=0 имеем u=1, и ветви A и B склеиваются: при x=0 получаем a=+-1 — это одно решение x=0, а не два.) **Подсчёт решений.** «Малое» решение даёт непрерывная монотонная цепочка A_(-) A_(+) B_(+), покрывающая все a>-1 ровно один раз, а «большое» решение даёт ветвь B_(-), также покрывающая все a>-1 ровно один раз. Эти два решения различны при a>-1: ветви B_(+) и B_(-) совпали бы лишь при sqrt(2-e^(-2x))=0, что невозможно (2-e^(-2x) 1). Поэтому: a<-1: 0 решений; a=-1: ровно 1 решение; a>-1: 2 решения. **Граница a=-1.** При a=-1 уравнение есть |ln(2-(x+1)^2)|=2x, ОДЗ: 0 x<2-1. При x=0: 2-1=1, |ln 1|=0=2* 0 — корень. При 0<x<2-1 имеем u=1-2x-x^2<1, и нужно -ln(1-2x-x^2)=2x; функция g(x)=-ln(1-2x-x^2)-2x удовлетворяет g(0)=0, g'(0)=0 и g(x)>0 при x>0, так что других корней нет. Итого ровно одно решение x=0. При a<-1 уже f(0)=|ln(2-a^2)|>0, и на всём ОДЗ f(x)=|ln(2-(x-a)^2)|-2x>0 — решений нет. **Ответ:** уравнение имеет ровно одно решение тогда и только тогда, когда a=-1.

a = -1