Задача №17846

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при которых уравнение

$$\left|\ln \left(2(ax+1)-(x^2+a^2)\right)\right|=2x$$

имеет ровно одно решение.

Преобразуем выражение под логарифмом:

$$2(ax+1)-(x^2+a^2)=-(x^2-2ax+a^2)+2=2-(x-a{)}^2.$$

Поэтому уравнение принимает вид

$$\left|\ln \left(2-(x-a{)}^2\right)\right|=2x.$$

ОДЗ и знак правой части. Логарифм определён при $2-(x-a{)}^2>0\text{.}$ Кроме того, левая часть неотрицательна как модуль, значит $2x⩾0\text{,}$ то есть $x⩾0\text{.}$

Сведение к выражению параметра через $x\text{.}$ Обозначим $u=2-(x-a{)}^2\text{,}$ причём из ОДЗ $0<u⩽2$ (максимум $u=2$ при $x=a$). Равенство $|\ln u|=2x$ при $x⩾0$ равносильно $\ln u=\pm 2x\text{,}$ то есть $u=e^{2x}$ или $u=e^{-2x}\text{.}$ Отсюда

$$(x-a{)}^2=2-e^{2x}(\text{ветвь A})\text{или}(x-a{)}^2=2-e^{-2x}(\text{ветвь B}),$$

и в каждой ветви

$$a=x\pm \sqrt{2-e^{2x}}(0⩽x⩽\frac{\ln 2}{2}),a=x\pm \sqrt{2-e^{-2x}}(x⩾0).$$

(Ветвь A существует лишь при $2-e^{2x}⩾0\text{,}$ то есть $x\in \left[0,\frac{\ln 2}{2}\right]\text{;}$ ветвь B — при всех $x⩾0\text{,}$ так как $2-e^{-2x}\in [1,2)\text{.}$)

Будем считать число решений $x⩾0$ для фиксированного $a$ как число пересечений горизонтали $a=\text{const}$ с графиками этих четырёх функций $a(x)\text{.}$ Все четыре функции монотонны:

• $A_{+}:a=x+\sqrt{2-e^{2x}}$ убывает от $1$ (при $x=0$) до $\frac{\ln 2}{2}\text{;}$ диапазон $a\in \left[\frac{\ln 2}{2},1\right]\text{.}$
• $A_{-}:a=x-\sqrt{2-e^{2x}}$ возрастает от $-1$ (при $x=0$) до $\frac{\ln 2}{2}\text{;}$ диапазон $a\in \left[-1,\frac{\ln 2}{2}\right]\text{.}$
• $B_{+}:a=x+\sqrt{2-e^{-2x}}\text{;}$ производная $1+\frac{e^{-x}}{\sqrt{2e^{2x}-1}}>0\text{,}$ строго возрастает от $1$ до $+\infty \text{.}$
• $B_{-}:a=x-\sqrt{2-e^{-2x}}\text{;}$ производная $1-\frac{e^{-x}}{\sqrt{2e^{2x}-1}}>0\text{,}$ строго возрастает от $-1$ (при $x=0$) до $+\infty \text{.}$

(В точке $x=0$ имеем $u=1\text{,}$ и ветви A и B склеиваются: при $x=0$ получаем $a=\pm 1$ — это одно решение $x=0\text{,}$ а не два.)

Подсчёт решений. «Малое» решение даёт непрерывная монотонная цепочка $A_{-}\to A_{+}\to B_{+}\text{,}$ покрывающая все $a>-1$ ровно один раз, а «большое» решение даёт ветвь $B_{-}\text{,}$ также покрывающая все $a>-1$ ровно один раз. Эти два решения различны при $a>-1\text{:}$ ветви $B_{+}$ и $B_{-}$ совпали бы лишь при $\sqrt{2-e^{-2x}}=0\text{,}$ что невозможно ($2-e^{-2x}⩾1$). Поэтому:

$$a<-1:0\text{ решений};a=-1:\text{ровно }1\text{ решение};a>-1:2\text{ решения}.$$

Граница $a=-1\text{.}$ При $a=-1$ уравнение есть $|\ln (2-(x+1{)}^2)|=2x\text{,}$ ОДЗ: $0⩽x<\sqrt{2}-1\text{.}$ При $x=0\text{:}$ $2-1=1\text{,}$ $|\ln 1|=0=2\cdot 0$ — корень. При $0<x<\sqrt{2}-1$ имеем $u=1-2x-x^2<1\text{,}$ и нужно $-\ln (1-2x-x^2)=2x\text{;}$ функция $g(x)=-\ln (1-2x-x^2)-2x$ удовлетворяет $g(0)=0,g^{\prime }(0)=0$ и $g(x)>0$ при $x>0\text{,}$ так что других корней нет. Итого ровно одно решение $x=0\text{.}$

При $a<-1$ уже $f(0)=|\ln (2-a^2)|>0\text{,}$ и на всём ОДЗ $f(x)=|\ln (2-(x-a{)}^2)|-2x>0$ — решений нет.

Ответ: уравнение имеет ровно одно решение тогда и только тогда, когда $a=-1\text{.}$