Задача №17840

Про квадратный трехчлен $f(x)=a{x}^2+bx+c$ известно, что $b=7$ и что $f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{3}\text{.}$ Найдите $f\left(-\frac{1}{3}\right)\text{.}$

Заметим, что квадратное слагаемое $a{x}^2$ принимает одинаковые значения в точках $x=\frac{1}{3}$ и $x=-\frac{1}{3}\text{,}$ а линейное слагаемое $bx$ меняет знак. Поэтому удобно рассмотреть сумму и разность интересующих нас значений.

Запишем

Вычитая второе равенство из первого, получаем

Это соотношение не зависит от $a$ и $c\text{:}$ они входят в $f\left(\frac{1}{3}\right)$ и $f\left(-\frac{1}{3}\right)$ одинаково и при вычитании сокращаются.

Подставляя данные $b=7$ и $f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{3}\text{,}$ находим

Отметим, что значение $f\left(-\frac{1}{3}\right)$ определяется однозначно, хотя сами коэффициенты $a$ и $c$ по условию не фиксированы (известна лишь их комбинация $\frac{a}{9}+c=\frac{11}{3}-\frac{7}{3}=\frac{4}{3}$). Это согласуется с тем, что $a$ и $c$ в искомую разность не входят.

Ответ: $f\left(-\frac{1}{3}\right)=-1\text{.}$