Решите уравнение (tg2x-2sin x)/(tg2x+2sin x)=0.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Кроме того, должно быть определено tg2x, то есть cos 2x!= 0. ОДЗ: cos 2x!= 0 (иначе не определён tg2x). Преобразуем числитель, используя tg2x=(sin 2x)/(cos 2x)=(2sin xcos x)/(cos 2x): tg2x-2sin x=(2sin xcos x)/(cos 2x)-2sin x=(2sin x(cos x-cos 2x))/(cos 2x). Поскольку cos 2x=2cos^2 x-1, имеем cos x-cos 2x=-(2cos^2 x-cos x-1)=-(2cos x+1)(cos x-1). Значит, tg2x-2sin x=-(2sin x(2cos x+1)(cos x-1))/(cos 2x). Числитель равен нулю при sin x=0, либо cos x=1, либо cos x=-12 (множитель cos x-1 даёт cos x=1, что влечёт и sin x=0). Проверим знаменатель в каждом случае. Заметим, что при sin x=0 (то есть при x=pi k) одновременно 2sin x=0 и tg2x=0, поэтому знаменатель tg2x+2sin x=0 — эти значения посторонние и в ответ не входят. То же относится к cos x=1, поскольку оно влечёт sin x=0. Остаётся cos x=-12, то есть x=+-(2pi)/(3)+2pi n, ninZ. При этом cos 2x=2*14-1=-12!= 0 (ОДЗ выполнено), а знаменатель tg2x+2sin x=(2sin xcos x)/(cos 2x)+2sin x=(2sin x(cos x+cos 2x))/(cos 2x)=(2sin x(-12-12))/(-12)=4sin x!= 0, так как sin x=+-(3)/(2)!= 0. Следовательно, эти значения действительно являются решениями. Отдельно отметим, что значения cos x=12 (x=+-(pi)/(3)+2pi n) корнями не являются: они обращают в нуль не числитель, а знаменатель. Ответ: x=+-(2pi)/(3)+2pi n, ninZ.

x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}