Задача №17843

Решите уравнение

$$\frac{\mathrm{tg}2x-2\sin x}{\mathrm{tg}2x+2\sin x}=0.$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Кроме того, должно быть определено $\mathrm{tg}2x\text{,}$ то есть $\cos 2x\ne 0\text{.}$

ОДЗ: $\cos 2x\ne 0$ (иначе не определён $\mathrm{tg}2x$).

Преобразуем числитель, используя $\mathrm{tg}2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\frac{2\sin x\cos x}{\cos 2x}\text{:}$

$$\mathrm{tg}2x-2\sin x=\frac{2\sin x\cos x}{\cos 2x}-2\sin x=\frac{2\sin x(\cos x-\cos 2x)}{\cos 2x}.$$

Поскольку $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1\text{,}$ имеем $\cos x-\cos 2x=-(2{\cos }^{2}x-\cos x-1)=-(2\cos x+1)(\cos x-1)\text{.}$ Значит,

$$\mathrm{tg}2x-2\sin x=-\frac{2\sin x(2\cos x+1)(\cos x-1)}{\cos 2x}.$$

Числитель равен нулю при $\sin x=0\text{,}$ либо $\cos x=1\text{,}$ либо $\cos x=-\frac{1}{2}$ (множитель $\cos x-1$ даёт $\cos x=1\text{,}$ что влечёт и $\sin x=0$).

Проверим знаменатель в каждом случае. Заметим, что при $\sin x=0$ (то есть при $x=\pi k$) одновременно $2\sin x=0$ и $\mathrm{tg}2x=0\text{,}$ поэтому знаменатель $\mathrm{tg}2x+2\sin x=0$ — эти значения посторонние и в ответ не входят. То же относится к $\cos x=1\text{,}$ поскольку оно влечёт $\sin x=0\text{.}$

Остаётся $\cos x=-\frac{1}{2}\text{,}$ то есть

$$x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

При этом $\cos 2x=2\cdot \frac{1}{4}-1=-\frac{1}{2}\ne 0$ (ОДЗ выполнено), а знаменатель

$$\mathrm{tg}2x+2\sin x=\frac{2\sin x\cos x}{\cos 2x}+2\sin x=\frac{2\sin x(\cos x+\cos 2x)}{\cos 2x}=\frac{2\sin x(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=4\sin x\ne 0,$$

так как $\sin x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\ne 0\text{.}$ Следовательно, эти значения действительно являются решениями.

Отдельно отметим, что значения $\cos x=\frac{1}{2}$ ($x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n$) корнями не являются: они обращают в нуль не числитель, а знаменатель.

Ответ: $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$