Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ
В треугольнике ABC проведены медианы AE и BD. Известно, что углы ∠EAB и ∠DBC равны, причем их косинусы равны 32. Найдите BC, если AB=1.
Обозначим стороны треугольника: BC=a, CA=b, AB=c=1. Точка E — середина BC (так что AE — медиана), точка D — середина AC (так что BD — медиана). Пусть ∠EAB=∠DBC=φ, где cosφ=32.
Длины медиан выражаются через стороны:
AE=212b2+2c2−a2,BD=212a2+2c2−b2.Запишем угол ∠EAB по теореме косинусов в треугольнике ABE, где AB=c, BE=2a, AE — медиана. Угол при вершине A лежит против стороны BE, поэтому
cos∠EAB=2AB⋅AEAB2+AE2−BE2=2c⋅AEc2+41(2b2+2c2−a2)−4a2=2AE1+2b2+1−a2.Аналогично, в треугольнике BDC имеем BC=a, DC=2b, BD — медиана, и угол при вершине B лежит против стороны DC:
cos∠DBC=2BC⋅BDBC2+BD2−DC2=2a⋅BDa2+41(2a2+2c2−b2)−4b2=2aBDa2+2a2+1−b2.Приравнивая каждое из выражений к cosφ=32, получаем систему
⎩⎨⎧22b2+2−a22+b2−a2=32,2a2a2+2−b23a2+1−b2=32.(Здесь подставлено c=1; в первом уравнении использовано AE=212b2+2−a2, во втором — BD=212a2+2−b2.)
Возведём оба уравнения в квадрат (что законно, так как левые части неотрицательны при условиях существования медиан 2b2+2−a2>0, 2a2+2−b2>0) и положим u=a2, v=b2. Получим систему двух алгебраических уравнений; её единственное допустимое решение
u=a2=2,v=b2=3,то есть a=BC=2, b=CA=3. Никаких посторонних корней при возведении в квадрат не возникает: вторая (отброшенная при квадрировании) ветвь не даёт положительных значений, удовлетворяющих обоим условиям существования медиан.
Проверка допустимости. Стороны a=2, b=3, c=1 удовлетворяют неравенству треугольника; более того, b2=a2+c2 (3=2+1), то есть треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине A. Прямым вычислением (например, разместив A=(0,0), B=(1,0), C=(1,2)) получаем
cos∠EAB=cos∠DBC=32,что совпадает с условием. Углы при основании конфигурации равны примерно 35,26∘, что соответствует arccos2/3.
Итак, BC=2.