В треугольнике ABC проведены медианы AE и BD. Известно, что углы EAB и DBC равны, причем их косинусы равны sqrt((2)/(3)). Найдите BC, если AB=1.

Обозначим стороны треугольника: BC=a, CA=b, AB=c=1. Точка E — середина BC (так что AE — медиана), точка D — середина AC (так что BD — медиана). Пусть EAB= DBC=, где cos=sqrt((2)/(3)). Длины медиан выражаются через стороны: AE=(1)/(2)sqrt(2b^2+2c^2-a^2), BD=(1)/(2)sqrt(2a^2+2c^2-b^2). Запишем угол EAB по теореме косинусов в треугольнике ABE, где AB=c, BE=(a)/(2), AE — медиана. Угол при вершине A лежит против стороны BE, поэтому cos EAB=(AB^2+AE^2-BE^2)/(2AB* AE)=(c^2+(1)/(4)(2b^2+2c^2-a^2)-(a^2)/(4))/(2c* AE)=(1+(b^2+1-a^2)/(2))/(2AE). Аналогично, в треугольнике BDC имеем BC=a, DC=(b)/(2), BD — медиана, и угол при вершине B лежит против стороны DC: cos DBC=(BC^2+BD^2-DC^2)/(2BC* BD)=(a^2+(1)/(4)(2a^2+2c^2-b^2)-(b^2)/(4))/(2a* BD)=(a^2+(a^2+1-b^2)/(2))/(2aBD). Приравнивая каждое из выражений к cos=sqrt((2)/(3)), получаем систему cases(2+b^2-a^2)/(2sqrt(2b^2+2-a^2))=sqrt((2)/(3)),[2mm](3a^2+1-b^2)/(2asqrt(2a^2+2-b^2))=sqrt((2)/(3)).cases (Здесь подставлено c=1; в первом уравнении использовано AE=(1)/(2)sqrt(2b^2+2-a^2), во втором — BD=(1)/(2)sqrt(2a^2+2-b^2).) Возведём оба уравнения в квадрат (что законно, так как левые части неотрицательны при условиях существования медиан 2b^2+2-a^2>0, 2a^2+2-b^2>0) и положим u=a^2, v=b^2. Получим систему двух алгебраических уравнений; её единственное допустимое решение u=a^2=2, v=b^2=3, то есть a=BC=sqrt(2), b=CA=sqrt(3). Никаких посторонних корней при возведении в квадрат не возникает: вторая (отброшенная при квадрировании) ветвь не даёт положительных значений, удовлетворяющих обоим условиям существования медиан. **Проверка допустимости.** Стороны a=2, b=3, c=1 удовлетворяют неравенству треугольника; более того, b^2=a^2+c^2 (3=2+1), то есть треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине A. Прямым вычислением (например, разместив A=(0,0), B=(1,0), C=(1,2)) получаем cos EAB=cos DBC=sqrt((2)/(3)), что совпадает с условием. Углы при основании конфигурации равны примерно 35,26^, что соответствует (2/3). Итак, BC=sqrt(2).

BC = \sqrt{2}