58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T6e9,Многочлен второй степени с корнями $x_1$ и $x_2$ имеет вид \[P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2-a(x_1+x_2)\,x+a\,x_1 x_2,\qquad a\neq 0.\] Здесь «средний коэффициент» — это коэффициент при $x$, то есть $-a(x_1+x_2)$. Вычислим сумму и произведение корней: \[x_1+x_2=-\frac{3}{5}+\frac{13}{7}=\frac{-21+65}{35}=\frac{44}{35},\qquad x_1 x_2=\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\frac{13}{7}=-\frac{39}{35}.\] Условие на средний коэффициент даёт уравнение для $a$: \[-a(x_1+x_2)=-4\iff -a\cdot\frac{44}{35}=-4\iff a=\frac{4\cdot 35}{44}=\frac{35}{11}.\] Значение $a=\dfrac{35}{11}\neq 0$, поэтому многочлен действительно второй степени (вырождения нет). Найдём остальные коэффициенты: \[\text{при }x:\quad -a(x_1+x_2)=-4\ (\text{по построению}),\qquad \text{свободный член}:\quad a\,x_1 x_2=\frac{35}{11}\cdot\left(-\frac{39}{35}\right)=-\frac{39}{11}.\] Итак, \[P(x)=\frac{35}{11}\,x^2-4x-\frac{39}{11}=\frac{35}{11}\left(x+\frac{3}{5}\right)\left(x-\frac{13}{7}\right).\] Замечание о единственности. Если корни требуются именно $-\dfrac{3}{5}$ и $\dfrac{13}{7}$ (оба заданы), то старший коэффициент $a$ однозначно определяется условием на средний коэффициент, поэтому ответ единственный. Любой ненулевой множитель изменил бы средний коэффициент, нарушив условие.5c:T950,Обозначим через $t=3^x>0$. Тогда $9^x=3^{2x}=t^2$ и $3^{x+1}=3t$, поэтому первый множитель равен \[9^x-2\cdot 3^{x+1}+8=t^2-6t+8=(t-2)(t-4).\] **ОДЗ (подкоренное выражение).** Корень $\sqrt{4-2^{2x}}$ определён при \[4-2^{2x}\geqslant 0\iff 2^{2x}\leqslant 4=2^2\iff 2x\leqslant 2\iff x\leqslant 1.\] Значит, область допустимых значений $x\leqslant 1$. При этом $\sqrt{4-2^{2x}}=0$ лишь при $x=1$, а при $x<1$ множитель $\sqrt{4-2^{2x}}>0$. **Разбор неравенства.** На ОДЗ произведение $(t-2)(t-4)\cdot\sqrt{4-2^{2x}}\geqslant 0$ выполнено в двух случаях. 1) $\sqrt{4-2^{2x}}=0$, то есть $x=1$. Тогда всё произведение равно $0\geqslant 0$ — точка подходит (это изолированная точка решения). 2) $\sqrt{4-2^{2x}}>0$, то есть $x<1$. Здесь неравенство равносильно $(t-2)(t-4)\geqslant 0$, что выполнено при $t\leqslant 2$ или $t\geqslant 4$, то есть \[3^x\leqslant 2\iff x\leqslant \log_3 2\quad\text{или}\quad 3^x\geqslant 4\iff x\geqslant \log_3 4.\] Так как $\log_3 4\approx 1{,}26>1$, ветвь $x\geqslant\log_3 4$ с условием $x<1$ несовместна. Остаётся $x\leqslant\log_3 2$ (и автоматически $x<1$, ведь $\log_3 2\approx 0{,}63<1$). **Проверка краёв.** При $x=\log_3 2$ имеем $t=2$, первый множитель равен $0$, а $\sqrt{4-2^{2x}}>0$ — произведение равно $0\geqslant 0$, точка включается. На интервале $\big(\log_3 2,\,1\big)$ выполнено $21$) выражение не определено. Объединяя оба случая, получаем \[x\in(-\infty,\ \log_3 2\,]\cup\{1\}.\]5d:Tcfa,Обозначим $f(x,y)=2|x+2|+|y|+|2x-y|$. Требуется найти множество точек, где $f(x,y)=4$, и его площадь. **Оценка снизу.** По неравенству треугольника \[|y|+|2x-y|\geqslant |y-(2x-y)|\cdot\tfrac12\cdot 2\ \text{— точнее: }\ |y|+|2x-y|\geqslant |y+(2x-y)|=|2x|=2|x|,\] причём равенство достигается тогда и только тогда, когда числа $y$ и $2x-y$ одного знака (нестрого), то есть когда $y$ лежит между $0$ и $2x$. Поэтому \[f(x,y)=2|x+2|+\bigl(|y|+|2x-y|\bigr)\geqslant 2|x+2|+2|x|.\] **Минимум внешней части.** Рассмотрим $g(x)=2|x+2|+2|x|=2\bigl(|x+2|+|x|\bigr)$. По неравенству треугольника $|x+2|+|x|\geqslant |(x+2)-x|=2$, откуда $g(x)\geqslant 4$, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $x$ лежит между $-2$ и $0$, то есть при $-2\leqslant x\leqslant 0$. **Совмещение условий.** Так как всегда $f(x,y)\geqslant g(x)\geqslant 4$, равенство $f(x,y)=4$ равносильно одновременному обращению обоих неравенств в равенства: \[\begin{cases}-2\leqslant x\leqslant 0,\\ y\ \text{лежит между } 0 \text{ и } 2x.\end{cases}\] При $-2\leqslant x\leqslant 0$ имеем $2x\leqslant 0$, поэтому второе условие — это $2x\leqslant y\leqslant 0$. Проверим обратное: при $-2\leqslant x\leqslant 0$ имеем $|x+2|=x+2$, $|x|=-x$, значит $g(x)=2(x+2)+(-2x)=4$; а при $2x\leqslant y\leqslant 0$ выполнено $|y|+|2x-y|=-y+(y-2x)=-2x=2|x|$. Тогда $f(x,y)=4$ тождественно. Следовательно, искомая фигура — это **целая двумерная область** \[T=\{(x,y):\ -2\leqslant x\leqslant 0,\ 2x\leqslant y\leqslant 0\},\] а не кривая (в этом и состоит «изюминка» задачи: уровень $f=4$ совпадает с минимумом и потому «заполняется» областью). **Площадь.** Область $T$ ограничена сверху прямой $y=0$, снизу прямой $y=2x$ и слева прямой $x=-2$; это треугольник с вершинами $(0,0)$, $(-2,0)$, $(-2,-4)$. Его площадь \[S=\int_{-2}^{0}\bigl(0-2x\bigr)\,dx=\bigl[-x^2\bigr]_{-2}^{0}=4,\] или по формуле площади прямоугольного треугольника с катетами $2$ и $4$: $S=\tfrac12\cdot 2\cdot 4=4.$ **Проверка краёв.** Все три вершины удовлетворяют уравнению: $f(0,0)=4$, $f(-2,0)=4$, $f(-2,-4)=4$; вне полосы $-2\leqslant x\leqslant 0$ или вне отрезка $2x\leqslant y\leqslant 0$ значение $f$ строго больше $4$ (например, $f(-1;0{,}1)=4{,}2$, $f(-1;-2{,}1)=4{,}2$). Посторонних точек нет. Площадь фигуры равна $4$.5e:Tc2e,Введём обозначения. Так как касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны, из вершины $A$ имеем $AK=AL$. Из условия $BK:KA=AL:LC=2:1$ положим $AK=AL=2s$. Тогда $BK=2\cdot AK=4s$, $LC=\tfrac12 AL=s$, и потому \[AB=BK+KA=6s,\qquad AC=AL+LC=3s.\] **Положение центра.** Центр $O$ окружности лежит на прямой $BC$ и равноудалён от прямых $AB$ и $AC$ (расстояние равно радиусу $r$). Значит, $O$ лежит на биссектрисе угла $A$. Поскольку $O$ — точка отрезка $BC$ (она лежит между точками пересечения $M$ и $N$), это внутренняя биссектриса. По свойству биссектрисы \[\frac{BO}{OC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6s}{3s}=2.\] **Диаметр на стороне $BC$.** Так как центр $O$ лежит на прямой $BC$, хорда $MN$, высекаемая этой прямой, проходит через центр, то есть $MN$ — диаметр, а $O$ — его середина. Обозначим $MN=d$ (тогда $r=\tfrac d2$) и $CN=c$. С учётом порядка точек $B,\,M,\,N,\,C$ на прямой имеем \[BM=8,\quad BN=8+d,\quad CN=c,\quad CM=c+d,\] \[BO=BM+\frac d2=8+\frac d2,\qquad OC=\frac d2+CN=\frac d2+c.\] **Три уравнения.** 1) Степень точки $B$ относительно окружности (секущая $BMN$ и касательная $BK$): \[BK^2=BM\cdot BN\ \Longrightarrow\ (4s)^2=8\,(8+d)\ \Longrightarrow\ 16s^2=8(8+d).\] 2) Степень точки $C$ (секущая $CNM$ и касательная $CL$): \[CL^2=CN\cdot CM\ \Longrightarrow\ s^2=c\,(c+d).\] 3) Биссектриса: \[\frac{BO}{OC}=2\ \Longrightarrow\ 8+\frac d2=2\Bigl(\frac d2+c\Bigr)\ \Longrightarrow\ d+4c=16.\] **Решение системы.** Из (1) получаем $2s^2=8+d$, а из (3) $d=16-4c$, откуда $2s^2=24-4c$, то есть $s^2=12-2c$. Подставляя $d=16-4c$ и $s^2=12-2c$ в (2): \[12-2c=c\,(c+16-4c)=c\,(16-3c)\ \Longrightarrow\ 12-2c=16c-3c^2,\] \[3c^2-18c+12=0\ \Longrightarrow\ c^2-6c+4=0\ \Longrightarrow\ c=3\pm\sqrt5.\] **Отбор корня.** Корень $c=3+\sqrt5$ даёт $d=16-4c=-4-4\sqrt5<0$, что невозможно ($d=MN>0$). Остаётся \[CN=c=3-\sqrt5\approx0,764.\] При этом $d=16-4(3-\sqrt5)=4+4\sqrt5>0$, $s^2=12-2(3-\sqrt5)=6+2\sqrt5>0$, все длины положительны, порядок точек $B0$: \[a\sqrt{tx_0+ty_0}=a\sqrt{t}\,\sqrt{x_0+y_0},\qquad \sqrt{tx_0}+\sqrt{3ty_0}=\sqrt{t}\,\bigl(\sqrt{x_0}+\sqrt{3y_0}\bigr).\] Обе части умножились на один и тот же множитель $\sqrt{t}$, поэтому равенство сохраняется. Значит, вместе с $(x_0,y_0)$ уравнению удовлетворяет *весь луч* $\{(tx_0,ty_0):t>0\}$ — бесконечно много различных точек. Вывод: *если существует хотя бы одно ненулевое решение, то решений бесконечно много*, и единственности нет. Поэтому единственность равносильна отсутствию ненулевых решений. **Когда ненулевых решений нет.** Введём замену $s=\sqrt{x}\geqslant 0$, $w=\sqrt{y}\geqslant 0$ (тогда $x=s^2$, $y=w^2$); условие $(x,y)\neq(0,0)$ означает $(s,w)\neq(0,0)$. Уравнение принимает вид \[a\sqrt{s^2+w^2}=s+\sqrt{3}\,w.\] Так как для ненулевой точки $\sqrt{s^2+w^2}>0$, существование ненулевого решения с данным $a$ равносильно тому, что число $a$ попадает в множество значений отношения \[R(s,w)=\frac{s+\sqrt{3}\,w}{\sqrt{s^2+w^2}},\qquad s\geqslant 0,\ w\geqslant 0,\ (s,w)\neq(0,0).\] Это отношение однородно степени $0$, поэтому достаточно рассмотреть точки единичной окружности: $s=\cos\varphi$, $w=\sin\varphi$, $\varphi\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr]$. Тогда \[R=\cos\varphi+\sqrt{3}\,\sin\varphi=2\sin\!\Bigl(\varphi+\frac{\pi}{6}\Bigr).\] При $\varphi\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr]$ аргумент $\varphi+\tfrac{\pi}{6}$ пробегает отрезок $\bigl[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{2\pi}{3}\bigr]$. На нём $\sin$ принимает все значения от $\tfrac12$ (в концах $\tfrac{\pi}{6}$ и $\tfrac{2\pi}{3}$ минимум равен $\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12$) до $1$ (в точке $\tfrac{\pi}{2}$, то есть при $\varphi=\tfrac{\pi}{3}$). Значит, \[R\in\bigl[\,2\cdot\tfrac12,\ 2\cdot 1\,\bigr]=[\,1,\ 2\,],\] причём оба конца достигаются: $R=1$ при $\varphi=0$ (то есть $w=0$, луч $y=0,\ x>0$), а $R=2$ при $\varphi=\tfrac{\pi}{3}$ (точка $s:w=1:\sqrt3$, луч $x:y=1:3$). То же самое видно из неравенства Коши–Буняковского: $s+\sqrt{3}\,w\leqslant\sqrt{1+3}\,\sqrt{s^2+w^2}=2\sqrt{s^2+w^2}$, откуда $R\leqslant 2$; а так как $s,w\geqslant 0$, то $s+\sqrt3\,w\geqslant\max(s,\sqrt3\,w)\geqslant\sqrt{s^2+w^2}$ даёт $R\geqslant 1$. **Вывод о параметре.** Ненулевое решение существует тогда и только тогда, когда $a\in[1,2]$. Следовательно: - при $a\in[1,2]$ есть ненулевое решение, а вместе с ним — целый луч решений, поэтому решение *не единственно*; - при $a\notin[1,2]$ ненулевых решений нет, и остаётся ровно одна точка $(0,0)$ — решение *единственно*. **Проверка краёв.** Концы $a=1$ и $a=2$ достигаются (см. выше явные лучи), поэтому они дают бесконечно много решений и в ответ *не* входят — интервалы открытые. При $a<1$ (в частности при всех $a\leqslant 0$, когда левая часть для ненулевой точки неположительна, а правая строго положительна) и при $a>2$ (тогда для ненулевой точки $a\sqrt{x+y}>2\sqrt{x+y}\geqslant\sqrt{x}+\sqrt{3y}$) равенство для ненулевых точек невозможно — единственным решением остаётся $(0,0)$. Итак, уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда \[a\in(-\infty,\,1)\cup(2,\,+\infty).\]60:Te9c,Введём систему координат с плоскостью основания $z=0$. Поскольку $\triangle ABC$ равнобедренный ($AC=BC=4$, $AB=\tfrac{8}{3}$), поместим $A=\left(-\tfrac{4}{3},0,0\right)$, $B=\left(\tfrac{4}{3},0,0\right)$, а $C$ на оси $Oy$: из $AC=4$ получаем $C=\left(0,\tfrac{8\sqrt{2}}{3},0\right)$. Вершину $S=(x,y,z)$ находим из $AS=BS=3$, $CS=5$. Из $AS=BS$ следует $x=0$. Тогда \[\left(\tfrac{4}{3}\right)^2+y^2+z^2=9,\qquad \left(y-\tfrac{8\sqrt{2}}{3}\right)^2+z^2=25.\] Отсюда $y=-\tfrac{\sqrt2}{3}$, $z=\sqrt7$ (берём вершину над основанием). Итак $S=\left(0,-\tfrac{\sqrt2}{3},\sqrt7\right)$. Вся конструкция симметрична относительно плоскости $x=0$. Цилиндр прямой круговой, нижнее основание лежит в плоскости $ABC$, значит ось цилиндра перпендикулярна основанию (вертикальна), а оба основания — круги одного радиуса $r$. По симметрии ось лежит в плоскости $x=0$: центр нижнего круга $O_1=(0,o,0)$, центр верхнего $O_2=(0,o,h)$. **Верхняя окружность.** Она лежит в плоскости $z=h$ и должна иметь ровно одну общую точку с каждой боковой гранью, т.е. касаться линии пересечения каждой грани с плоскостью $z=h$. Записав уравнения плоскостей граней $ABS$, $BSC$, $CSA$ и приравняв горизонтальное расстояние от $(0,o)$ до этих линий к $r$, получаем (грани $BSC$ и $CSA$ дают одно и то же в силу симметрии): \[\frac{\sqrt7\,(\sqrt2\,h+3\sqrt7\,o)}{21}=r,\qquad \frac{\sqrt7\,(8\sqrt{14}-9\sqrt2\,h-3\sqrt7\,o)}{63}=r.\] Решая относительно $o$ и $r$: \[o=-\frac{\sqrt{14}}{7}\,h+\frac{2\sqrt2}{3},\qquad r=-\frac{2\sqrt{14}}{21}\,h+\frac{2\sqrt2}{3}.\] **Нижняя окружность.** Центр $(0,o)$, радиус $r$; касается ровно одного ребра основания. Расстояния от центра до рёбер: \[d_{AB}=\left|\frac{\sqrt{14}}{7}h-\frac{2\sqrt2}{3}\right|,\qquad d_{BC}=d_{CA}=\frac{\sqrt{14}}{21}h+\frac{2\sqrt2}{3}.\] Так как $r$ убывает по $h$, а $d_{BC}$ растёт, равенство $r=d_{BC}$ невозможно. Остаётся касание ребра $AB$: $r=d_{AB}$, что даёт \[-\frac{2\sqrt{14}}{21}h+\frac{2\sqrt2}{3}=\frac{\sqrt{14}}{7}h-\frac{2\sqrt2}{3}\ \Longrightarrow\ h=\frac{4\sqrt7}{5}.\] При этом $o=-\tfrac{2\sqrt2}{15}$, $r=\tfrac{2\sqrt2}{15}>0$, $h=\tfrac{4\sqrt7}{5}\approx2{,}117<\sqrt7$ (высота пирамиды), точка касания основания $(0,0,0)$ принадлежит отрезку $AB$, а $r0,\\]\nпоэтому выражение \\(\\log_5\\left(-\\log_3\\frac{8}{1944}\\right)\$ определено.\n\nНаконец,\n\\[\\log_5\\left(-\\log_3\\frac{8}{1944}\\right)=\\log_5 5=1.\\]\n\nЗамечание об ОДЗ: исходно требуется \$\\frac{8}{1944}>0\$ (выполнено) и \$-\\log_3\\frac{8}{1944}>0\$, то есть \$\\log_3\\frac{8}{1944}<0\$, что также выполнено, так как \$\\frac{8}{1944}=\\frac{1}{243}<1\$. Посторонних значений нет — выражение является конкретным числом.","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":2,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"17 июля, вариант 123","variant_key":"2012-v2","year":2012},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","name":"Вычисления и оценки","description":null},"tags":[{"id":"69dbd048-33e5-42a7-ae46-9f908eab9d5a","code":"tag-93","name":"Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования"},{"id":"e082d742-24ab-47dd-aa86-811e2d0d11d4","code":"tag-215","name":"Логарифм числа"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"}]}},{"problem_id":"74730d42-2886-4cab-8f53-cf2f0457260a","collection_id":"4aac4f79-fa8f-4359-8cf6-ad9b58b950d6","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"74730d42-2886-4cab-8f53-cf2f0457260a","short_id":17788,"task_number":16,"topic_id":"5bec8268-22ed-431c-af0b-14f090028c64","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Решите неравенство\n\\[(9^x-2\\cdot 3^{x+1}+8)\\cdot\\sqrt{4-2^{2x}}\\geq 0.\\]","answer_text":"\$x \\in (-\\infty,\\ \\log_3 2\\,]\\cup\\{1\\}\$","answer":"\$x \\in (-\\infty,\\ \\log_3 2\\,]\\cup\\{1\\}\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":3,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"17 июля, вариант 123","variant_key":"2012-v2","year":2012},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5bec8268-22ed-431c-af0b-14f090028c64","name":"Показательные неравенства","description":null},"tags":[{"id":"164a5062-f1e8-49cd-ad14-ee6f3e291522","code":"tag-23","name":"Уравнения рациональные относительно показательных функций"},{"id":"2c55495d-5b54-461b-8a9b-3567966b9d28","code":"tag-40","name":"Метод интервалов"},{"id":"3d83bcf4-0d09-4a5d-b894-e2c684238e58","code":"tag-58","name":"Неравенство содержащее радикал"},{"id":"71f19a1a-c6b7-4320-9e0b-3cb73213fa41","code":"tag-104","name":"Показательные неравенства"}]}},{"problem_id":"b03501e2-6a44-4c50-9e5e-dac65f2980f8","collection_id":"4aac4f79-fa8f-4359-8cf6-ad9b58b950d6","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"b03501e2-6a44-4c50-9e5e-dac65f2980f8","short_id":17789,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Решите уравнение\n\\[\\sin 4x+\\sqrt{3}\\sin 3x+\\sin 2x=0.\\]","answer_text":"\$x = \\frac{\\pi k}{3},\\ \\pm\\frac{5\\pi}{6}+2\\pi k,\\quad k\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$x = \\frac{\\pi k}{3},\\ \\pm\\frac{5\\pi}{6}+2\\pi k,\\quad k\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"Область допустимых значений: уравнение не содержит дробей и радикалов, поэтому ОДЗ — все действительные \$x\$, и посторонних корней при равносильных преобразованиях не возникает.\n\nСгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы синусов \$\\sin\\alpha+\\sin\\beta=2\\sin\\dfrac{\\alpha+\\beta}{2}\\cos\\dfrac{\\alpha-\\beta}{2}\$:\n\\[\\sin 4x+\\sin 2x=2\\sin 3x\\cos x.\\]\nТогда исходное уравнение принимает вид\n\\[2\\sin 3x\\cos x+\\sqrt{3}\\sin 3x=0 \\iff \\sin 3x\\,(2\\cos x+\\sqrt{3})=0.\\]\n\nПроизведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.\n\n1) \$\\sin 3x=0 \\iff 3x=\\pi k \\iff x=\\dfrac{\\pi k}{3},\\ k\\in\\mathbb{Z}.\$\n\n2) \$2\\cos x+\\sqrt{3}=0 \\iff \\cos x=-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2} \\iff x=\\pm\\dfrac{5\\pi}{6}+2\\pi k,\\ k\\in\\mathbb{Z}.\$\n\nСерии не пересекаются: значения \$x=\\pm\\frac{5\\pi}{6}+2\\pi k\$ (то есть \$\\frac{5\\pi}{6}\$ и \$\\frac{7\\pi}{6}\$ на периоде) не являются кратными \$\\frac{\\pi}{3}\$, поэтому объединяются без поглощения. Объединение обеих серий и есть полный набор решений.","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":4,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"17 июля, вариант 123","variant_key":"2012-v2","year":2012},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"9f2c32f9-1c81-45d4-bfd9-70a4620bebf8","code":"tag-142","name":"Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители"},{"id":"dcec6e03-173e-4ea7-9b6a-cb935a3bdda5","code":"tag-212","name":"Тригонометрические формулы суммы или разности аргументов"}]}},{"problem_id":"83a726ef-ed0c-4700-8291-c81a9a4e8f56","collection_id":"4aac4f79-fa8f-4359-8cf6-ad9b58b950d6","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"83a726ef-ed0c-4700-8291-c81a9a4e8f56","short_id":17790,"task_number":19,"topic_id":"000fc2fd-c5a2-455f-aa01-620d43e2e4ea","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Найдите площадь фигуры, состоящей из точек \$(x,y)\$ координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению\n\\[2|x+2|+|y|+|2x-y|=4.\\]","answer_text":"\$4\$","answer":"\$4\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":5,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"17 июля, вариант 123","variant_key":"2012-v2","year":2012},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"000fc2fd-c5a2-455f-aa01-620d43e2e4ea","name":"Нестандартная алгебра","description":null},"tags":[{"id":"0148c122-19f0-472b-b8c1-162241eb57d1","code":"tag-2","name":"Модуль числа"},{"id":"275e3095-a627-42d9-b42c-cad9b86949b5","code":"tag-33","name":"Примеры применения интеграла в физике и геометрии"},{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"}]}},{"problem_id":"4d013c1f-cbb4-4bd0-a45e-8ea7d95f1730","collection_id":"4aac4f79-fa8f-4359-8cf6-ad9b58b950d6","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"4d013c1f-cbb4-4bd0-a45e-8ea7d95f1730","short_id":17791,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Окружность с центром, лежащим на стороне \$BC\$ треугольника \$ABC\$, касается сторон \$AB\$ и \$AC\$ в точках \$K\$ и \$L\$, соответственно, и пересекает сторону \$BC\$ в точках \$M\$, \$N\$ (точка \$M\$ лежит между точками \$B\$ и \$N\$). Найдите \$CN\$, если известно, что \$BM=8\$ и \$BK:KA=AL:LC=2:1\$.","answer_text":"\$CN = 3 - \\sqrt{5}\$","answer":"\$CN = 3 - \\sqrt{5}\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":6,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"17 июля, вариант 123","variant_key":"2012-v2","year":2012},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"728bc58c-1ce7-411d-8367-ebc8e9dfd104","code":"tag-106","name":"Квадратные уравнения"},{"id":"c289978d-0619-415d-b931-ca8286c4546b","code":"tag-182","name":"Окружности и треугольники"},{"id":"da0ac89e-7451-45b3-9beb-21e2e1589705","code":"tag-207","name":"Вписанные окружности"}]}},{"problem_id":"d7ee6a3f-cf85-430f-8208-40cda66e6f27","collection_id":"4aac4f79-fa8f-4359-8cf6-ad9b58b950d6","display_order":7,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"d7ee6a3f-cf85-430f-8208-40cda66e6f27","short_id":17792,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Определите, при каких значениях параметра \$a\$ уравнение\n\\[a\\sqrt{x+y}=\\sqrt{x}+\\sqrt{3y}\\]\nимеет единственное решение \$(x,y)\$.","answer_text":"\$a \\in (-\\infty,1)\\cup(2,+\\infty)\$","answer":"\$a \\in (-\\infty,1)\\cup(2,+\\infty)\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":7,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"17 июля, вариант 123","variant_key":"2012-v2","year":2012},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"aa6e8219-4309-468c-bb4a-3b6f64ef9c5e","code":"tag-157","name":"Системы с параметром"},{"id":"dd1b76a0-263b-443b-abbd-179a85c1de5b","code":"tag-213","name":"Иррациональные уравнения"}]}},{"problem_id":"184e9dcf-4152-4e0a-a754-fc02c301ac9c","collection_id":"4aac4f79-fa8f-4359-8cf6-ad9b58b950d6","display_order":8,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"184e9dcf-4152-4e0a-a754-fc02c301ac9c","short_id":17793,"task_number":20,"topic_id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник \$ABC\$ со сторонами \$AC=BC=4\$ и \$AB=\\dfrac{8}{3}\$, боковые рёбра \$AS,BS,CS\$ пирамиды равны соответственно \$3\$, \$3\$ и \$5\$. Прямой круговой цилиндр расположен так, что окружность его верхнего основания имеет ровно одну общую точку с каждой из боковых граней пирамиды, а окружность нижнего основания лежит в плоскости \$ABC\$ и касается ровно одного из рёбер основания пирамиды. Найдите высоту цилиндра.","answer_text":"\$\\dfrac{4\\sqrt{7}}{5}\$","answer":"\$\\dfrac{4\\sqrt{7}}{5}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":8,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"17 июля, вариант 123","variant_key":"2012-v2","year":2012},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","name":"Многогранники","description":null},"tags":[{"id":"720324ca-61cd-4043-8f06-78f5c54c5067","code":"tag-105","name":"Координаты вектора, скалярное произведение векторов, угол между векторами"},{"id":"74213194-9fdd-4c1e-b9d6-9d91c23f2cb1","code":"tag-109","name":"Комбинации круглых тел"},{"id":"95ce61b0-ecd4-41ee-a17a-5d5f2298515b","code":"tag-132","name":"Комбинации стереометрических тел"},{"id":"d910c52b-60cc-47a9-b58b-f21ab0d0fc24","code":"tag-205","name":"Треугольная пирамида"}]}}],"total":8},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ