Задача №17792

Определите, при каких значениях параметра $a$ уравнение

$$a\sqrt{x+y}=\sqrt{x}+\sqrt{3y}$$

имеет единственное решение $(x,y)\text{.}$

ОДЗ. Чтобы все радикалы были определены, нужно $x⩾0$ и $y⩾0$ (тогда автоматически $x+y⩾0$). Будем искать решения $(x,y)$ именно в этой четверти.

Точка $(0,0)$ — решение при любом $a\text{.}$ При $x=y=0$ обе части обращаются в нуль:

$$a\sqrt{0+0}=0=\sqrt{0}+\sqrt{3\cdot 0},$$

поэтому пара $(0,0)$ удовлетворяет уравнению при любом значении параметра $a\text{.}$ Следовательно, уравнение всегда имеет хотя бы одно решение, и вопрос о единственности — это вопрос о том, когда $(0,0)$ является единственным решением, то есть когда других решений $(x,y)\ne (0,0)$ нет.

Однородность: ненулевое решение порождает целый луч решений. Пусть $(x_0,y_0)$ с $x_0⩾0,y_0⩾0,(x_0,y_0)\ne (0,0)$ — решение. Подставим точку $(t{x}_0,t{y}_0)$ при любом $t>0\text{:}$

$$a\sqrt{t{x}_0+t{y}_0}=a\sqrt{t}\sqrt{x_0+y_0},\sqrt{t{x}_0}+\sqrt{3t{y}_0}=\sqrt{t}(\sqrt{x_0}+\sqrt{3y_0}).$$

Обе части умножились на один и тот же множитель $\sqrt{t}\text{,}$ поэтому равенство сохраняется. Значит, вместе с $(x_0,y_0)$ уравнению удовлетворяет весь луч $\{(t{x}_0,t{y}_0):t>0\}$ — бесконечно много различных точек. Вывод: если существует хотя бы одно ненулевое решение, то решений бесконечно много, и единственности нет. Поэтому единственность равносильна отсутствию ненулевых решений.

Когда ненулевых решений нет. Введём замену $s=\sqrt{x}⩾0\text{,}$ $w=\sqrt{y}⩾0$ (тогда $x=s^2\text{,}$ $y=w^2$); условие $(x,y)\ne (0,0)$ означает $(s,w)\ne (0,0)\text{.}$ Уравнение принимает вид

$$a\sqrt{s^2+w^2}=s+\sqrt{3}w.$$

Так как для ненулевой точки $\sqrt{s^2+w^2}>0\text{,}$ существование ненулевого решения с данным $a$ равносильно тому, что число $a$ попадает в множество значений отношения

$$R(s,w)=\frac{s+\sqrt{3}w}{\sqrt{s^2+w^2}},s⩾0,w⩾0,(s,w)\ne (0,0).$$

Это отношение однородно степени $0\text{,}$ поэтому достаточно рассмотреть точки единичной окружности: $s=\cos \phi \text{,}$ $w=\sin \phi \text{,}$ $\phi \in [0,\frac{\pi }{2}]\text{.}$ Тогда

$$R=\cos \phi +\sqrt{3}\sin \phi =2\sin (\phi +\frac{\pi }{6}).$$

При $\phi \in [0,\frac{\pi }{2}]$ аргумент $\phi +\frac{\pi }{6}$ пробегает отрезок $[\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}]\text{.}$ На нём $\sin$ принимает все значения от $\frac{1}{2}$ (в концах $\frac{\pi }{6}$ и $\frac{2\pi }{3}$ минимум равен $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$) до $1$ (в точке $\frac{\pi }{2}\text{,}$ то есть при $\phi =\frac{\pi }{3}$). Значит,

$$R\in [2\cdot \frac{1}{2},2\cdot 1]=[1,2],$$

причём оба конца достигаются: $R=1$ при $\phi =0$ (то есть $w=0\text{,}$ луч $y=0,x>0$), а $R=2$ при $\phi =\frac{\pi }{3}$ (точка $s:w=1:\sqrt{3}\text{,}$ луч $x:y=1:3$).

То же самое видно из неравенства Коши–Буняковского: $s+\sqrt{3}w⩽\sqrt{1+3}\sqrt{s^2+w^2}=2\sqrt{s^2+w^2}\text{,}$ откуда $R⩽2\text{;}$ а так как $s,w⩾0\text{,}$ то $s+\sqrt{3}w⩾\max (s,\sqrt{3}w)⩾\sqrt{s^2+w^2}$ даёт $R⩾1\text{.}$

Вывод о параметре. Ненулевое решение существует тогда и только тогда, когда $a\in [1,2]\text{.}$ Следовательно:

• при $a\in [1,2]$ есть ненулевое решение, а вместе с ним — целый луч решений, поэтому решение не единственно;

• при $a\notin [1,2]$ ненулевых решений нет, и остаётся ровно одна точка $(0,0)$ — решение единственно.

Проверка краёв. Концы $a=1$ и $a=2$ достигаются (см. выше явные лучи), поэтому они дают бесконечно много решений и в ответ не входят — интервалы открытые. При $a<1$ (в частности при всех $a⩽0\text{,}$ когда левая часть для ненулевой точки неположительна, а правая строго положительна) и при $a>2$ (тогда для ненулевой точки $a\sqrt{x+y}>2\sqrt{x+y}⩾\sqrt{x}+\sqrt{3y}$) равенство для ненулевых точек невозможно — единственным решением остаётся $(0,0)\text{.}$

Итак, уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда

$$a\in (-\infty ,1)\cup (2,+\infty ).$$