Задача №17787

Вычислите ${\log }_5\left(-{\log }_3\frac{8}{1944}\right)\text{.}$

Упростим дробь под внутренним логарифмом. Разложим знаменатель на множители:

Тогда

Вычислим внутренний логарифм:

Проверим определённость внешнего логарифма (ОДЗ): аргумент внешнего логарифма должен быть строго положителен. Имеем

поэтому выражение ${\log }_5\left(-{\log }_3\frac{8}{1944}\right)$ определено.

Наконец,

Замечание об ОДЗ: исходно требуется $\frac{8}{1944}>0$ (выполнено) и $-{\log }_3\frac{8}{1944}>0\text{,}$ то есть ${\log }_3\frac{8}{1944}<0\text{,}$ что также выполнено, так как $\frac{8}{1944}=\frac{1}{243}<1\text{.}$ Посторонних значений нет — выражение является конкретным числом.