Решите уравнение sin 4x+sqrt(3)sin 3x+sin 2x=0.

Область допустимых значений: уравнение не содержит дробей и радикалов, поэтому ОДЗ — все действительные x, и посторонних корней при равносильных преобразованиях не возникает. Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы синусов +=2sin(alpha+beta)/(2)cos(alpha-beta)/(2): sin 4x+sin 2x=2sin 3xcos x. Тогда исходное уравнение принимает вид 2sin 3xcos x+sqrt(3)sin 3x=0 sin 3x(2cos x+sqrt(3))=0. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. 1) sin 3x=0 3x=pi k x=(pi k)/(3), kinZ. 2) 2cos x+sqrt(3)=0 cos x=-(sqrt(3))/(2) x=+-(5pi)/(6)+2pi k, kinZ. Серии не пересекаются: значения x=+-(5pi)/(6)+2pi k (то есть (5pi)/(6) и (7pi)/(6) на периоде) не являются кратными (pi)/(3), поэтому объединяются без поглощения. Объединение обеих серий и есть полный набор решений.

x = \frac{\pi k}{3},\ \pm\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}