Задача №17789

Решите уравнение

$$\sin 4x+\sqrt{3}\sin 3x+\sin 2x=0.$$

Область допустимых значений: уравнение не содержит дробей и радикалов, поэтому ОДЗ — все действительные $x\text{,}$ и посторонних корней при равносильных преобразованиях не возникает.

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы синусов $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\text{:}$

$$\sin 4x+\sin 2x=2\sin 3x\cos x.$$

Тогда исходное уравнение принимает вид

$$2\sin 3x\cos x+\sqrt{3}\sin 3x=0⟺\sin 3x(2\cos x+\sqrt{3})=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.

1) $\sin 3x=0⟺3x=\pi k⟺x=\frac{\pi k}{3},k\in \mathbb{Z}.$

2) $2\cos x+\sqrt{3}=0⟺\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}⟺x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$

Серии не пересекаются: значения $x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k$ (то есть $\frac{5\pi }{6}$ и $\frac{7\pi }{6}$ на периоде) не являются кратными $\frac{\pi }{3}\text{,}$ поэтому объединяются без поглощения. Объединение обеих серий и есть полный набор решений.