Найдите многочлен второй степени, если известно, что его корни равны -(3)/(5) и (13)/(7), а средний коэффициент равен -4.

Многочлен второй степени с корнями x_1 и x_2 имеет вид P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1 x_2, a!= 0. Здесь «средний коэффициент» — это коэффициент при x, то есть -a(x_1+x_2). Вычислим сумму и произведение корней: x_1+x_2=-(3)/(5)+(13)/(7)=(-21+65)/(35)=(44)/(35), x_1 x_2=(-(3)/(5))*(13)/(7)=-(39)/(35). Условие на средний коэффициент даёт уравнение для a: -a(x_1+x_2)=-4 -a*(44)/(35)=-4 a=(4* 35)/(44)=(35)/(11). Значение a=(35)/(11)!= 0, поэтому многочлен действительно второй степени (вырождения нет). Найдём остальные коэффициенты: при x: -a(x_1+x_2)=-4 (по построению), свободный член: ax_1 x_2=(35)/(11)*(-(39)/(35))=-(39)/(11). Итак, P(x)=(35)/(11)x^2-4x-(39)/(11)=(35)/(11)(x+(3)/(5))(x-(13)/(7)). Замечание о единственности. Если корни требуются именно -(3)/(5) и (13)/(7) (оба заданы), то старший коэффициент a однозначно определяется условием на средний коэффициент, поэтому ответ единственный. Любой ненулевой множитель изменил бы средний коэффициент, нарушив условие.

\dfrac{35}{11}x^2-4x-\dfrac{39}{11}