Найдите многочлен второй степени, если известно, что его корни равны −53 и 713, а средний коэффициент равен −4.
Многочлен второй степени с корнями x1 и x2 имеет вид
P(x)=a(x−x1)(x−x2)=ax2−a(x1+x2)x+ax1x2,a=0.Здесь «средний коэффициент» — это коэффициент при x, то есть −a(x1+x2).
Вычислим сумму и произведение корней:
x1+x2=−53+713=35−21+65=3544,x1x2=(−53)⋅713=−3539.Условие на средний коэффициент даёт уравнение для a:
−a(x1+x2)=−4⟺−a⋅3544=−4⟺a=444⋅35=1135.Значение a=1135=0, поэтому многочлен действительно второй степени (вырождения нет).
Найдём остальные коэффициенты:
при x:−a(x1+x2)=−4 (по построению),свободный член:ax1x2=1135⋅(−3539)=−1139.Итак,
P(x)=1135x2−4x−1139=1135(x+53)(x−713).Замечание о единственности. Если корни требуются именно −53 и 713 (оба заданы), то старший коэффициент a однозначно определяется условием на средний коэффициент, поэтому ответ единственный. Любой ненулевой множитель изменил бы средний коэффициент, нарушив условие.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ДВИ МГУ