Задача №17791

Окружность с центром, лежащим на стороне $BC$ треугольника $ABC\text{,}$ касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $L\text{,}$ соответственно, и пересекает сторону $BC$ в точках $M\text{,}$ $N$ (точка $M$ лежит между точками $B$ и $N$). Найдите $CN\text{,}$ если известно, что $BM=8$ и $BK:KA=AL:LC=2:1\text{.}$

Введём обозначения. Так как касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны, из вершины $A$ имеем $AK=AL\text{.}$ Из условия $BK:KA=AL:LC=2:1$ положим $AK=AL=2s\text{.}$ Тогда $BK=2\cdot AK=4s\text{,}$ $LC=\frac{1}{2}AL=s\text{,}$ и потому

Положение центра. Центр $O$ окружности лежит на прямой $BC$ и равноудалён от прямых $AB$ и $AC$ (расстояние равно радиусу $r$). Значит, $O$ лежит на биссектрисе угла $A\text{.}$ Поскольку $O$ — точка отрезка $BC$ (она лежит между точками пересечения $M$ и $N$), это внутренняя биссектриса. По свойству биссектрисы

Диаметр на стороне $BC\text{.}$ Так как центр $O$ лежит на прямой $BC\text{,}$ хорда $MN\text{,}$ высекаемая этой прямой, проходит через центр, то есть $MN$ — диаметр, а $O$ — его середина. Обозначим $MN=d$ (тогда $r=\frac{d}{2}$) и $CN=c\text{.}$ С учётом порядка точек $B,M,N,C$ на прямой имеем

Три уравнения.

1) Степень точки $B$ относительно окружности (секущая $BMN$ и касательная $BK$):

2) Степень точки $C$ (секущая $CNM$ и касательная $CL$):

3) Биссектриса:

Решение системы. Из (1) получаем $2s^2=8+d\text{,}$ а из (3) $d=16-4c\text{,}$ откуда $2s^2=24-4c\text{,}$ то есть $s^2=12-2c\text{.}$ Подставляя $d=16-4c$ и $s^2=12-2c$ в (2):

Отбор корня. Корень $c=3+\sqrt{5}$ даёт $d=16-4c=-4-4\sqrt{5}<0\text{,}$ что невозможно ($d=MN>0$). Остаётся

При этом $d=16-4(3-\sqrt{5})=4+4\sqrt{5}>0\text{,}$ $s^2=12-2(3-\sqrt{5})=6+2\sqrt{5}>0\text{,}$ все длины положительны, порядок точек $B<M<N<C$ выполнен ($BN=8+d\approx 20,94<BC=8+d+c\approx 21,71$), а точки касания $K$ и $L$ попадают на сами стороны ($t=\frac{1}{3}$ и $t=\frac{2}{3}$ соответственно). Конфигурация существует и единственна.