Окружность с центром, лежащим на стороне BC треугольника ABC, касается сторон AB и AC в точках K и L, соответственно, и пересекает сторону BC в точках M, N (точка M лежит между точками B и N). Найдите CN, если известно, что BM=8 и BK:KA=AL:LC=2:1.

Введём обозначения. Так как касательные, проведённые к окружности из одной точки, равны, из вершины A имеем AK=AL. Из условия BK:KA=AL:LC=2:1 положим AK=AL=2s. Тогда BK=2* AK=4s, LC=12 AL=s, и потому AB=BK+KA=6s, AC=AL+LC=3s. Положение центра. Центр O окружности лежит на прямой BC и равноудалён от прямых AB и AC (расстояние равно радиусу r). Значит, O лежит на биссектрисе угла A. Поскольку O — точка отрезка BC (она лежит между точками пересечения M и N), это внутренняя биссектриса. По свойству биссектрисы (BO)/(OC)=(AB)/(AC)=(6s)/(3s)=2. Диаметр на стороне BC. Так как центр O лежит на прямой BC, хорда MN, высекаемая этой прямой, проходит через центр, то есть MN — диаметр, а O — его середина. Обозначим MN=d (тогда r= d2) и CN=c. С учётом порядка точек B,M,N,C на прямой имеем BM=8, BN=8+d, CN=c, CM=c+d, BO=BM+ d2=8+ d2, OC= d2+CN= d2+c. Три уравнения. 1) Степень точки B относительно окружности (секущая BMN и касательная BK): BK^2=BM* BN (4s)^2=8(8+d) 16s^2=8(8+d). 2) Степень точки C (секущая CNM и касательная CL): CL^2=CN* CM s^2=c(c+d). 3) Биссектриса: (BO)/(OC)=2 8+ d2=2( d2+c) d+4c=16. Решение системы. Из (1) получаем 2s^2=8+d, а из (3) d=16-4c, откуда 2s^2=24-4c, то есть s^2=12-2c. Подставляя d=16-4c и s^2=12-2c в (2): 12-2c=c(c+16-4c)=c(16-3c) 12-2c=16c-3c^2, 3c^2-18c+12=0 c^2-6c+4=0 c=3+-5. Отбор корня. Корень c=3+5 даёт d=16-4c=-4-45<0, что невозможно (d=MN>0). Остаётся CN=c=3-5~0,764. При этом d=16-4(3-5)=4+45>0, s^2=12-2(3-5)=6+25>0, все длины положительны, порядок точек B<M<N<C выполнен (BN=8+d~20,94<BC=8+d+c~21,71), а точки касания K и L попадают на сами стороны (t=13 и t=23 соответственно). Конфигурация существует и единственна. CN=3-5.

CN = 3 - \sqrt{5}