Задача №17790

Найдите площадь фигуры, состоящей из точек $(x,y)$ координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению

$$2|x+2|+|y|+|2x-y|=4.$$

Обозначим $f(x,y)=2|x+2|+|y|+|2x-y|\text{.}$ Требуется найти множество точек, где $f(x,y)=4\text{,}$ и его площадь.

Оценка снизу. По неравенству треугольника

$$|y|+|2x-y|⩾|y-(2x-y)|\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\text{- точнее: }|y|+|2x-y|⩾|y+(2x-y)|=|2x|=2|x|,$$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда числа $y$ и $2x-y$ одного знака (нестрого), то есть когда $y$ лежит между $0$ и $2x\text{.}$ Поэтому

$$f(x,y)=2|x+2|+(|y|+|2x-y|)⩾2|x+2|+2|x|.$$

Минимум внешней части. Рассмотрим $g(x)=2|x+2|+2|x|=2(|x+2|+|x|)\text{.}$ По неравенству треугольника $|x+2|+|x|⩾|(x+2)-x|=2\text{,}$ откуда $g(x)⩾4\text{,}$ причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $x$ лежит между $-2$ и $0\text{,}$ то есть при $-2⩽x⩽0\text{.}$

Совмещение условий. Так как всегда $f(x,y)⩾g(x)⩾4\text{,}$ равенство $f(x,y)=4$ равносильно одновременному обращению обоих неравенств в равенства:

$$\{\begin{array}{l}-2⩽x⩽0,\\ y\text{лежит между }0\text{ и }2x.\end{array}$$

При $-2⩽x⩽0$ имеем $2x⩽0\text{,}$ поэтому второе условие — это $2x⩽y⩽0\text{.}$ Проверим обратное: при $-2⩽x⩽0$ имеем $|x+2|=x+2\text{,}$ $|x|=-x\text{,}$ значит $g(x)=2(x+2)+(-2x)=4\text{;}$ а при $2x⩽y⩽0$ выполнено $|y|+|2x-y|=-y+(y-2x)=-2x=2|x|\text{.}$ Тогда $f(x,y)=4$ тождественно. Следовательно, искомая фигура — это целая двумерная область

$$T=\{(x,y):-2⩽x⩽0,2x⩽y⩽0\},$$

а не кривая (в этом и состоит «изюминка» задачи: уровень $f=4$ совпадает с минимумом и потому «заполняется» областью).

Площадь. Область $T$ ограничена сверху прямой $y=0\text{,}$ снизу прямой $y=2x$ и слева прямой $x=-2\text{;}$ это треугольник с вершинами $(0,0)\text{,}$ $(-2,0)\text{,}$ $(-2,-4)\text{.}$ Его площадь

$$S={\int }_{-2}^0(0-2x)dx=[-x^2{]}_{-2}^0=4,$$

или по формуле площади прямоугольного треугольника с катетами $2$ и $4\text{:}$ $S=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4.$

Проверка краёв. Все три вершины удовлетворяют уравнению: $f(0,0)=4\text{,}$ $f(-2,0)=4\text{,}$ $f(-2,-4)=4\text{;}$ вне полосы $-2⩽x⩽0$ или вне отрезка $2x⩽y⩽0$ значение $f$ строго больше $4$ (например, $f(-1;0,1)=4,2\text{,}$ $f(-1;-2,1)=4,2$). Посторонних точек нет.

Площадь фигуры равна $4\text{.}$