Задача №17788

Решите неравенство

$$(9^x-2\cdot 3^{x+1}+8)\cdot \sqrt{4-2^{2x}}\ge 0.$$

Обозначим через $t=3^x>0\text{.}$ Тогда $9^x=3^{2x}=t^2$ и $3^{x+1}=3t\text{,}$ поэтому первый множитель равен

$$9^x-2\cdot 3^{x+1}+8=t^2-6t+8=(t-2)(t-4).$$

ОДЗ (подкоренное выражение). Корень $\sqrt{4-2^{2x}}$ определён при

$$4-2^{2x}⩾0⟺2^{2x}⩽4=2^2⟺2x⩽2⟺x⩽1.$$

Значит, область допустимых значений $x⩽1\text{.}$ При этом $\sqrt{4-2^{2x}}=0$ лишь при $x=1\text{,}$ а при $x<1$ множитель $\sqrt{4-2^{2x}}>0\text{.}$

Разбор неравенства. На ОДЗ произведение $(t-2)(t-4)\cdot \sqrt{4-2^{2x}}⩾0$ выполнено в двух случаях.

1) $\sqrt{4-2^{2x}}=0\text{,}$ то есть $x=1\text{.}$ Тогда всё произведение равно $0⩾0$ — точка подходит (это изолированная точка решения).

2) $\sqrt{4-2^{2x}}>0\text{,}$ то есть $x<1\text{.}$ Здесь неравенство равносильно $(t-2)(t-4)⩾0\text{,}$ что выполнено при $t⩽2$ или $t⩾4\text{,}$ то есть

$$3^x⩽2⟺x⩽{\log }_{3}2\text{или}{3}^x⩾4⟺x⩾{\log }_{3}4.$$

Так как ${\log }_{3}4\approx 1,26>1\text{,}$ ветвь $x⩾{\log }_{3}4$ с условием $x<1$ несовместна. Остаётся $x⩽{\log }_{3}2$ (и автоматически $x<1\text{,}$ ведь ${\log }_{3}2\approx 0,63<1$).

Проверка краёв. При $x={\log }_{3}2$ имеем $t=2\text{,}$ первый множитель равен $0\text{,}$ а $\sqrt{4-2^{2x}}>0$ — произведение равно $0⩾0\text{,}$ точка включается. На интервале $({\log }_{3}2,1)$ выполнено $2<t<4\text{,}$ поэтому $(t-2)(t-4)<0\text{,}$ а корень положителен — произведение строго отрицательно, эти точки в ответ не входят. Точка $x=1$ даёт нулевое произведение и входит. Посторонних корней нет: вне ОДЗ ($x>1$) выражение не определено.

Объединяя оба случая, получаем

$$x\in (-\infty ,{\log }_{3}2]\cup \{1\}.$$