Задача №17793

В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AC=BC=4$ и $AB=\frac{8}{3}\text{,}$ боковые рёбра $AS,BS,CS$ пирамиды равны соответственно $3\text{,}$ $3$ и $5\text{.}$ Прямой круговой цилиндр расположен так, что окружность его верхнего основания имеет ровно одну общую точку с каждой из боковых граней пирамиды, а окружность нижнего основания лежит в плоскости $ABC$ и касается ровно одного из рёбер основания пирамиды. Найдите высоту цилиндра.

Введём систему координат с плоскостью основания $z=0\text{.}$ Поскольку $△ABC$ равнобедренный ($AC=BC=4\text{,}$ $AB=\frac{8}{3}$), поместим $A=\left(-\frac{4}{3},0,0\right)\text{,}$ $B=\left(\frac{4}{3},0,0\right)\text{,}$ а $C$ на оси $Oy\text{:}$ из $AC=4$ получаем $C=\left(0,\frac{8\sqrt{2}}{3},0\right)\text{.}$

Вершину $S=(x,y,z)$ находим из $AS=BS=3\text{,}$ $CS=5\text{.}$ Из $AS=BS$ следует $x=0\text{.}$ Тогда

Отсюда $y=-\frac{\sqrt{2}}{3}\text{,}$ $z=\sqrt{7}$ (берём вершину над основанием). Итак $S=\left(0,-\frac{\sqrt{2}}{3},\sqrt{7}\right)\text{.}$ Вся конструкция симметрична относительно плоскости $x=0\text{.}$

Цилиндр прямой круговой, нижнее основание лежит в плоскости $ABC\text{,}$ значит ось цилиндра перпендикулярна основанию (вертикальна), а оба основания — круги одного радиуса $r\text{.}$ По симметрии ось лежит в плоскости $x=0\text{:}$ центр нижнего круга $O_1=(0,o,0)\text{,}$ центр верхнего $O_2=(0,o,h)\text{.}$

Верхняя окружность. Она лежит в плоскости $z=h$ и должна иметь ровно одну общую точку с каждой боковой гранью, т.е. касаться линии пересечения каждой грани с плоскостью $z=h\text{.}$ Записав уравнения плоскостей граней $ABS\text{,}$ $BSC\text{,}$ $CSA$ и приравняв горизонтальное расстояние от $(0,o)$ до этих линий к $r\text{,}$ получаем (грани $BSC$ и $CSA$ дают одно и то же в силу симметрии):

Решая относительно $o$ и $r\text{:}$

Нижняя окружность. Центр $(0,o)\text{,}$ радиус $r\text{;}$ касается ровно одного ребра основания. Расстояния от центра до рёбер:

Так как $r$ убывает по $h\text{,}$ а $d_{BC}$ растёт, равенство $r=d_{BC}$ невозможно. Остаётся касание ребра $AB\text{:}$ $r=d_{AB}\text{,}$ что даёт

При этом $o=-\frac{2\sqrt{2}}{15}\text{,}$ $r=\frac{2\sqrt{2}}{15}>0\text{,}$ $h=\frac{4\sqrt{7}}{5}\approx 2,117<\sqrt{7}$ (высота пирамиды), точка касания основания $(0,0,0)$ принадлежит отрезку $AB\text{,}$ а $r<d_{BC}=\frac{14\sqrt{2}}{15}$ — окружность касается только ребра $AB\text{.}$ Проверка точек касания верхней окружности: их барицентрические координаты во всех трёх гранях лежат строго внутри $(0,1)\text{,}$ т.е. касание действительно происходит на гранях (по одной общей точке).

Итак, высота цилиндра $h=\frac{4\sqrt{7}}{5}\text{.}$