В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник ABC со сторонами AC=BC=4 и AB=(8)/(3), боковые рёбра AS,BS,CS пирамиды равны соответственно 3, 3 и 5. Прямой круговой цилиндр расположен так, что окружность его верхнего основания имеет ровно одну общую точку с каждой из боковых граней пирамиды, а окружность нижнего основания лежит в плоскости ABC и касается ровно одного из рёбер основания пирамиды. Найдите высоту цилиндра.

Введём систему координат с плоскостью основания z=0. Поскольку ABC равнобедренный (AC=BC=4, AB=(8)/(3)), поместим A=(-(4)/(3),0,0), B=((4)/(3),0,0), а C на оси Oy: из AC=4 получаем C=(0,(8sqrt(2))/(3),0). Вершину S=(x,y,z) находим из AS=BS=3, CS=5. Из AS=BS следует x=0. Тогда ((4)/(3))^2+y^2+z^2=9, (y-(8sqrt(2))/(3))^2+z^2=25. Отсюда y=-(2)/(3), z=7 (берём вершину над основанием). Итак S=(0,-(2)/(3),7). Вся конструкция симметрична относительно плоскости x=0. Цилиндр прямой круговой, нижнее основание лежит в плоскости ABC, значит ось цилиндра перпендикулярна основанию (вертикальна), а оба основания — круги одного радиуса r. По симметрии ось лежит в плоскости x=0: центр нижнего круга O_1=(0,o,0), центр верхнего O_2=(0,o,h). Верхняя окружность. Она лежит в плоскости z=h и должна иметь ровно одну общую точку с каждой боковой гранью, т.е. касаться линии пересечения каждой грани с плоскостью z=h. Записав уравнения плоскостей граней ABS, BSC, CSA и приравняв горизонтальное расстояние от (0,o) до этих линий к r, получаем (грани BSC и CSA дают одно и то же в силу симметрии): (7(2h+37o))/(21)=r, (7(8sqrt(14)-92h-37o))/(63)=r. Решая относительно o и r: o=-(sqrt(14))/(7)h+(22)/(3), r=-(2sqrt(14))/(21)h+(22)/(3). Нижняя окружность. Центр (0,o), радиус r; касается ровно одного ребра основания. Расстояния от центра до рёбер: d_(AB)=|(sqrt(14))/(7)h-(22)/(3)|, d_(BC)=d_(CA)=(sqrt(14))/(21)h+(22)/(3). Так как r убывает по h, а d_(BC) растёт, равенство r=d_(BC) невозможно. Остаётся касание ребра AB: r=d_(AB), что даёт -(2sqrt(14))/(21)h+(22)/(3)=(sqrt(14))/(7)h-(22)/(3) h=(47)/(5). При этом o=-(22)/(15), r=(22)/(15)>0, h=(47)/(5)~2,117<7 (высота пирамиды), точка касания основания (0,0,0) принадлежит отрезку AB, а r<d_(BC)=(142)/(15) — окружность касается только ребра AB. Проверка точек касания верхней окружности: их барицентрические координаты во всех трёх гранях лежат строго внутри (0,1), т.е. касание действительно происходит на гранях (по одной общей точке). Итак, высота цилиндра h=(47)/(5).

\dfrac{4\sqrt{7}}{5}