58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T72c,Решим уравнение $(\sin x-\cos x)^2=2$. Раскроем квадрат: \[(\sin x-\cos x)^2=\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x=1-2\sin x\cos x=1-\sin 2x.\] Здесь использованы основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ и формула двойного угла $2\sin x\cos x=\sin 2x$. Уравнение принимает вид \[1-\sin 2x=2 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin 2x=-1.\] Уравнение $\sin 2x=-1$ имеет решения \[2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z},\] откуда \[x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.\] Эта серия совпадает с $x=\dfrac{3\pi}{4}+\pi n$ (отличие на $\pi$, то есть лишь сдвиг индекса $n$), поэтому ответ можно записать в виде \[x=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.\] Замечания о корректности. ОДЗ всё множество $\mathbb{R}$: функции $\sin x,\cos x$ определены всюду, ограничений нет. Все преобразования (раскрытие квадрата, тождества) равносильны, возведения в степень или умножения на выражение с переменной не выполнялось, поэтому посторонних корней не возникает и потери корней нет. Альтернативный путь даёт тот же результат: $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\,\sin\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$, тогда $(\sin x-\cos x)^2=2\sin^2\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=2$, то есть $\sin^2\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1$, $x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n$, $x=\frac{3\pi}{4}+\pi n$.5c:T6f8,Областью допустимых значений уравнения служат условия положительности аргументов логарифмов: \[\begin{cases}2x+1>0,\\ 4+3x>0,\end{cases}\iff\begin{cases}x>-\dfrac12,\\ x>-\dfrac43,\end{cases}\iff x>-\dfrac12.\] Приведём правую часть к основанию $3$. Поскольку $9=3^2$, то \[\log_9(4+3x)=\frac{\log_3(4+3x)}{\log_3 9}=\frac12\log_3(4+3x).\] Уравнение принимает вид \[\log_3(2x+1)=\frac12\log_3(4+3x),\] откуда, умножив на $2$ и воспользовавшись тем, что $2\log_3(2x+1)=\log_3(2x+1)^2$ (на ОДЗ $2x+1>0$ это законно), получаем \[\log_3(2x+1)^2=\log_3(4+3x).\] В силу строгой монотонности логарифма это равносильно равенству аргументов: \[(2x+1)^2=4+3x.\] Раскрываем и приводим к квадратному уравнению: \[4x^2+4x+1=4+3x\iff 4x^2+x-3=0.\] Дискриминант $D=1+48=49$, корни \[x=\frac{-1\pm 7}{8}\;\Longrightarrow\; x_1=\frac34,\quad x_2=-1.\] Проверяем корни на ОДЗ ($x>-\tfrac12$): \[x_2=-1<-\frac12\] — посторонний корень (при нём $2x+1=-1<0$, логарифм $\log_3(2x+1)$ не определён); отбрасываем. \[x_1=\frac34>-\frac12\] — входит в ОДЗ. Подстановка $x=\dfrac34$: $2x+1=\dfrac52>0$, $4+3x=\dfrac{25}{4}>0$, и \[\log_3\frac52=\frac12\log_3\frac{25}{4}=\log_9\frac{25}{4},\] так как $\left(\dfrac52\right)^2=\dfrac{25}{4}$. Равенство выполнено. Итак, единственное решение $x=\dfrac34$.5d:Tb75,Найдём область допустимых значений. Подкоренные выражения неотрицательны: $1-3x\geqslant 0$, то есть $x\leqslant\frac{1}{3}$, и $2+x\geqslant 0$, то есть $x\geqslant -2$. Знаменатель не равен нулю: $\sqrt{2+x}-1\neq 0$, то есть $2+x\neq 1$, $x\neq -1$. Таким образом, ОДЗ: $x\in[-2,\,\tfrac{1}{3}]\setminus\{-1\}$. Перенесём единицу в левую часть и приведём к общему знаменателю: \[\frac{\sqrt{1-3x}-1}{\sqrt{2+x}-1}-1<0 \iff \frac{\sqrt{1-3x}-1-(\sqrt{2+x}-1)}{\sqrt{2+x}-1}<0 \iff \frac{\sqrt{1-3x}-\sqrt{2+x}}{\sqrt{2+x}-1}<0.\] Исследуем знаки числителя и знаменателя на ОДЗ. Числитель $\sqrt{1-3x}-\sqrt{2+x}$. Так как обе подкоренные функции неотрицательны, его знак совпадает со знаком разности подкоренных выражений $(1-3x)-(2+x)=-1-4x$. Эта разность обращается в нуль при $x=-\frac{1}{4}$; при $x<-\frac{1}{4}$ она положительна (числитель $>0$), при $x>-\frac{1}{4}$ — отрицательна (числитель $<0$). Знаменатель $\sqrt{2+x}-1$. Функция $\sqrt{2+x}$ возрастает и равна $1$ при $x=-1$; значит, при $x\in[-2,-1)$ знаменатель отрицателен, при $x\in(-1,\tfrac{1}{3}]$ положителен. Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Разобьём ОДЗ точками $x=-1$ и $x=-\frac{1}{4}$: | Промежуток | Числитель | Знаменатель | Дробь | |---|---|---|---| | $ [-2,-1) $ | $ + $ | $ - $ | $ -\ (<0) $ | | $ (-1,-\tfrac14) $ | $ + $ | $ + $ | $ + $ | | $ (-\tfrac14,\tfrac13] $ | $ - $ | $ + $ | $ -\ (<0) $ | Неравенство (строгое) выполняется на промежутках $[-2,-1)$ и $\left(-\frac{1}{4},\,\frac{1}{3}\right]$. Проверим граничные точки. При $x=-2$: $\dfrac{\sqrt{7}-1}{0-1}=1-\sqrt{7}\approx-1{,}65<1$ — входит. При $x=\frac{1}{3}$: $\dfrac{\sqrt{0}-1}{\sqrt{7/3}-1}=\dfrac{-1}{\sqrt{7/3}-1}\approx-1{,}90<1$ — входит. Точка $x=-1$ исключена (знаменатель равен нулю, дробь не определена). Точка $x=-\frac{1}{4}$ исключена: там числитель равен нулю, дробь равна $0$, то есть исходное выражение равно $1$, а неравенство строгое. \[\boxed{x\in[-2,-1)\cup\left(-\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{3}\right]}\]5e:T9c1,Точка $S$ — точка пересечения медиан $PE$ и $QF$, то есть центроид треугольника $PQR$. По условию $E$ — середина стороны $QR$ (конец медианы $PE$), $F$ — середина стороны $PR$ (конец медианы $QF$). Введём векторы из вершины $R$: положим $\mathbf{p}=\overrightarrow{RP}$, $\mathbf{q}=\overrightarrow{RQ}$, и обозначим $b=|\mathbf{p}|^2=RP^2$, $c=|\mathbf{q}|^2=RQ^2$, $d=\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}$. Тогда \[\overrightarrow{RE}=\tfrac12\mathbf{q},\qquad \overrightarrow{RF}=\tfrac12\mathbf{p},\qquad \overrightarrow{RS}=\tfrac13(\mathbf{p}+\mathbf{q}),\] так как центроид $S=\tfrac13(P+Q+R)$. **Условие вписанности.** Четыре точки $S,E,R,F$ лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда обращается в нуль определитель концикличности \[\begin{vmatrix} |S|^2 & S_x & S_y & 1\\ |E|^2 & E_x & E_y & 1\\ |R|^2 & R_x & R_y & 1\\ |F|^2 & F_x & F_y & 1\end{vmatrix}=0.\] Раскрывая его, получаем (с точностью до ненулевого множителя — удвоенной площади невырожденного треугольника) равносильное условие \[RP^2+RQ^2-4\,\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}=0,\qquad\text{то есть}\qquad b+c=4d.\] **Выражение $SR$ и $PQ$.** Имеем \[SR^2=|\overrightarrow{RS}|^2=\tfrac19(b+c+2d),\qquad PQ^2=|\mathbf{p}-\mathbf{q}|^2=b+c-2d.\] Подставляя условие вписанности $d=\tfrac{b+c}{4}$, находим \[SR^2=\frac{b+c+\tfrac{b+c}{2}}{9}=\frac{b+c}{6},\qquad PQ^2=b+c-\frac{b+c}{2}=\frac{b+c}{2}.\] Отсюда не зависящее от формы треугольника соотношение \[PQ^2=3\,SR^2.\] **Подстановка данных.** При $SR=2$ получаем $PQ^2=3\cdot 4=12$, значит \[PQ=2\sqrt{3}.\] Геометрически условие $b+c=4d$ при подходящем выборе сторон выполнимо (например, при $RP=RQ$ оно даёт $\angle R=60^\circ$), так что искомая конфигурация существует; величина $PQ$ однозначно определяется значением $SR$.5f:Tc3d,Обозначим $f(x)=\dfrac{10^x}{25^{x-1}+10^x+4^{x+1}}$. Областью определения служит вся числовая прямая, и при всех $x$ выполнено $f(x)>0$. Разделим числитель и знаменатель на $10^x=5^x\cdot 2^x>0$. Учитывая \[\frac{25^{x-1}}{10^x}=\frac{1}{25}\cdot\frac{25^x}{10^x}=\frac{1}{25}\left(\frac{5}{2}\right)^x,\qquad \frac{4^{x+1}}{10^x}=4\cdot\frac{4^x}{10^x}=4\left(\frac{2}{5}\right)^x,\] получаем \[f(x)=\frac{1}{\dfrac{1}{25}\left(\dfrac{5}{2}\right)^x+1+4\left(\dfrac{2}{5}\right)^x}.\] Сделаем замену $t=\left(\dfrac{5}{2}\right)^x$; тогда $\left(\dfrac{2}{5}\right)^x=\dfrac1t$, причём $t>0$ пробегает все положительные значения (показательная функция с основанием $\frac52>1$ непрерывна и биективно отображает $\mathbb{R}$ на $(0,+\infty)$). В новых обозначениях \[f=\frac{1}{g(t)},\qquad g(t)=\frac{t}{25}+1+\frac{4}{t},\quad t>0.\] Поскольку числитель дроби равен $1$, а $g(t)>0$, наибольшее значение $f$ достигается там, где $g(t)$ минимален. К положительным слагаемым $\dfrac{t}{25}$ и $\dfrac{4}{t}$ применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом: \[\frac{t}{25}+\frac{4}{t}\geqslant 2\sqrt{\frac{t}{25}\cdot\frac{4}{t}}=2\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{4}{5},\] причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $\dfrac{t}{25}=\dfrac{4}{t}$, то есть $t^2=100$, $t=10$ (берём положительный корень). Следовательно, \[g(t)\geqslant \frac{4}{5}+1=\frac{9}{5},\] и минимум $g_{\min}=\dfrac{9}{5}$ достигается при $t=10$. Тем самым \[f(x)\leqslant \frac{1}{9/5}=\frac{5}{9},\] и наибольшее значение функции равно $\dfrac{5}{9}$. Найдём точку, в которой оно достигается. Условие $t=10$ означает $\left(\dfrac{5}{2}\right)^x=10$, откуда \[x=\log_{5/2}10=\log_{2{,}5}10=\frac{\ln 10}{\ln 2{,}5}\approx 2{,}513.\] Это действительно глобальный максимум: $g(t)\to+\infty$ при $t\to 0^+$ и при $t\to+\infty$, а единственная критическая точка $t=10$ (из $g'(t)=\dfrac{1}{25}-\dfrac{4}{t^2}=0$) даёт минимум, поскольку $g''(10)=\dfrac{8}{t^3}\Big|_{t=10}>0$. Проверка подстановкой: при $t=10$ знаменатель исходной дроби (после деления) равен $\dfrac{10}{25}+1+\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}+1+\dfrac{2}{5}=\dfrac{9}{5}$, значит $f=\dfrac{5}{9}$. Ответ: наибольшее значение $\dfrac{5}{9}$ достигается при $x=\log_{2{,}5}10$.60:Tee2,Введём прямоугольную систему координат с началом в вершине куба и осями вдоль рёбер, так что куб занимает область $0\leqslant x\leqslant 1$, $0\leqslant y\leqslant 1$, $0\leqslant z\leqslant 1$. Основанием считаем грань $z=0$, параллельной ему — грань $z=1$. Пусть $r_1$ — радиус первой сферы. Она касается основания $z=0$ и двух соседних боковых граней; возьмём их $x=0$ и $y=0$. Сфера, касающаяся трёх взаимно перпендикулярных граней, имеет центр, отстоящий от каждой из них на свой радиус, поэтому центр первой сферы есть \[O_1=(r_1,\,r_1,\,r_1).\] Пусть $r_2$ — радиус второй сферы. Она касается двух других боковых граней (то есть $x=1$ и $y=1$) и грани $z=1$, параллельной основанию. Аналогично её центр отстоит от каждой из этих трёх граней на $r_2$, значит \[O_2=(1-r_2,\,1-r_2,\,1-r_2).\] Каждый из центров лежит на главной диагонали куба, идущей из вершины $(0,0,0)$ в $(1,1,1)$. Сферы касаются друг друга внешним образом, поэтому расстояние между центрами равно сумме радиусов: \[|O_1O_2|=r_1+r_2.\] Вычислим квадрат расстояния между центрами: \[|O_1O_2|^2=3\bigl((1-r_2)-r_1\bigr)^2=3\,(1-r_1-r_2)^2.\] Обозначим искомую сумму $s=r_1+r_2$. Условие касания принимает вид \[3\,(1-s)^2=s^2.\] Заметим, что геометрически центры расположены так, что точка касания лежит между ними на диагонали, поэтому $1-s>0$; извлекая корень с учётом $s>0$, получаем \[\sqrt{3}\,(1-s)=s\quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{3}=s(1+\sqrt{3})\quad\Longleftrightarrow\quad s=\frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}.\] Формально квадратное уравнение $3(1-s)^2=s^2$, то есть $2s^2-6s+3=0$, имеет два корня \[s=\frac{3\pm\sqrt{3}}{2}.\] Корень $s=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}\approx 2{,}37$ посторонний: каждый радиус не превосходит $\tfrac12$ (центр сферы, касающейся трёх граней, должен лежать внутри куба, откуда $1-r\geqslant r$, то есть $r\leqslant\tfrac12$), поэтому $s=r_1+r_2\leqslant 1$. Подходит только \[s=\frac{3-\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}634.\] Проверка совместности с условием «сферы различных радиусов»: касание фиксирует лишь сумму $r_1+r_2$, а не сами радиусы. Любое разбиение $s=\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}$ на слагаемые с $r_1,r_2\in\left(0,\tfrac12\right]$ (например, $r_1\approx 0{,}30$, $r_2\approx 0{,}33$) даёт допустимую конфигурацию; в частности, существуют разбиения с $r_1\neq r_2$, так что требование различных радиусов выполнимо и на ответ не влияет. Итак, сумма радиусов равна $\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}$.61:T93d,Квадратичная форма первого неравенства соответствует матрице $\begin{pmatrix}5&-1\\-1&9\end{pmatrix}$: её определитель равен $5\cdot 9-(-1)^2=44>0$, а угловой минор $5>0$, поэтому форма положительно определена, и $5x^2-2xy+9y^2\leqslant 1$ задаёт замкнутый эллипс (вместе с границей). Сделаем сдвиг в предполагаемую точку касания: положим \[u=x+\tfrac14,\qquad v=y-\tfrac14,\qquad\text{то есть}\quad x=u-\tfrac14,\ y=v+\tfrac14.\] Подставляя в неравенства, после раскрытия скобок получаем \[5x^2-2xy+9y^2-1=\bigl(5u^2-2uv+9v^2\bigr)-3u+5v,\] \[3x-5y+2=3u-5v.\] Поэтому исходная система равносильна \[\begin{cases}g:=5u^2-2uv+9v^2-3u+5v\leqslant 0,\\ h:=3u-5v\leqslant 0.\end{cases}\] Ключевое наблюдение: линейная часть $g$ равна $-3u+5v=-h$, поэтому \[g+h=\bigl(5u^2-2uv+9v^2-3u+5v\bigr)+\bigl(3u-5v\bigr)=5u^2-2uv+9v^2.\] Правая часть — та же положительно определённая форма, значит $g+h\geqslant 0$ для всех $(u,v)$, причём $g+h=0$ лишь при $u=v=0$. С другой стороны, из системы $g\leqslant 0$ и $h\leqslant 0$ следует $g+h\leqslant 0$. Совмещая с $g+h\geqslant 0$, получаем $g+h=0$, откуда \[5u^2-2uv+9v^2=0\quad\Longrightarrow\quad u=v=0.\] Следовательно, $u=0,\ v=0$, то есть $x=-\tfrac14,\ y=\tfrac14$. Прямая проверка: $5\cdot\tfrac1{16}-2\cdot(-\tfrac14)\cdot\tfrac14+9\cdot\tfrac1{16}=\tfrac{5+2+9}{16}=1\leqslant 1$ и $3\cdot(-\tfrac14)-5\cdot\tfrac14=-2\leqslant -2$ — оба неравенства обращаются в равенства. Геометрически прямая $3x-5y=-2$ касается эллипса $5x^2-2xy+9y^2=1$ в этой точке, а полуплоскость $3x-5y\leqslant -2$ лежит вне эллипса, кроме самой точки касания. Итак, система имеет единственное решение $x=-\tfrac14,\ y=\tfrac14$.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"ДВИ МГУ 2011 — вариант 4\",\"description\":\"Коллекция \\\"ДВИ МГУ 2011 — вариант 4\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 8 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/dvi-math-2011-v4\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T05:30:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"ДВИ МГУ 2011 — вариант 4\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ 2011 — вариант 4-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"ДВИ МГУ 2011 — вариант 4"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"dvi-math-2011-v4","serverCollection":{"id":"40b05b46-9685-4c3f-94b1-b1e516340e40","name":"ДВИ МГУ 2011 — вариант 4","code":"dvi-math-2011-v4","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"hidden_problem_count":0,"solved_count":0,"source":"ЦПК МГУ / мехмат","source_url":"https://cpk.msu.ru/entrance/files/2011/math.20110717.4.pdf","total_problem_count":8,"variant_batch":"dvi-2011-2019-v1","variant_label":"ВАРИАНТ 114 (17 июля 2011)","visible_problem_count":8,"year":2011},"created_at":"2026-06-10T05:30:00Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:46.488821Z","problem_count":8,"visible_count":8,"total_count":8,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"56743fab-7468-44f0-9320-5dfd9fe20edc","collection_id":"40b05b46-9685-4c3f-94b1-b1e516340e40","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"56743fab-7468-44f0-9320-5dfd9fe20edc","short_id":17770,"task_number":14,"topic_id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":2,"content_text":"Вычислите значение функции \$\\dfrac{x^2-1{,}75}{x+5}\$ в точке \$x=\\dfrac{4}{3}\$.","answer_text":"\$\\dfrac{1}{228}\$","answer":"\$\\dfrac{1}{228}\$","solution_text":"Функция \$f(x)=\\dfrac{x^2-1{,}75}{x+5}\$ определена при \$x\\neq-5\$. В точке \$x=\\dfrac{4}{3}\$ знаменатель \$x+5=\\dfrac{4}{3}+5=\\dfrac{19}{3}\\neq 0\$, поэтому значение существует.\n\nВычислим числитель. Поскольку \$1{,}75=\\dfrac{7}{4}\$, имеем\n\\[x^2-1{,}75=\\left(\\frac{4}{3}\\right)^2-\\frac{7}{4}=\\frac{16}{9}-\\frac{7}{4}=\\frac{64-63}{36}=\\frac{1}{36}.\\]\nЗнаменатель уже найден: \$x+5=\\dfrac{19}{3}\$. Следовательно,\n\\[f\\!\\left(\\frac{4}{3}\\right)=\\frac{\\tfrac{1}{36}}{\\tfrac{19}{3}}=\\frac{1}{36}\\cdot\\frac{3}{19}=\\frac{3}{684}=\\frac{1}{228}.\\]","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":1,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 114 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v4","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","name":"Вычисления и оценки","description":null},"tags":[{"id":"161ce81e-7848-4a50-990d-f97dfcbb50aa","code":"tag-22","name":"Преобразования выражений, включающих арифметические операции"},{"id":"a2b4e925-7b33-4fc8-aeb6-0a8f03dd4256","code":"tag-147","name":"Дроби, проценты, рациональные числа"}]}},{"problem_id":"94f3c4a2-a8bc-4edf-8589-176d6925ccd2","collection_id":"40b05b46-9685-4c3f-94b1-b1e516340e40","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"94f3c4a2-a8bc-4edf-8589-176d6925ccd2","short_id":17771,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":3,"content_text":"Решите уравнение \$(\\sin x-\\cos x)^2=2\$.","answer_text":"\$x = \\dfrac{3\\pi}{4} + \\pi n,\\ n \\in \\mathbb{Z}\$","answer":"\$x = \\dfrac{3\\pi}{4} + \\pi n,\\ n \\in \\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":2,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 114 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v4","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"2a6876b0-df38-4bc8-89a9-d986e627b92a","code":"tag-38","name":"Основное тригонометрическое тождество и его следствия"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"ce7c2741-ac03-4ffe-afe8-d71552c8416c","code":"tag-196","name":"Синус и косинус двойного угла"}]}},{"problem_id":"41cdcfb2-72cb-4001-bf7a-07d1f0254e48","collection_id":"40b05b46-9685-4c3f-94b1-b1e516340e40","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"41cdcfb2-72cb-4001-bf7a-07d1f0254e48","short_id":17772,"task_number":17,"topic_id":"57c71533-3578-44db-89b2-cbb8140c30a6","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":4,"content_text":"Решите уравнение\n\\[\\log_3(2x+1)=\\log_9(4+3x).\\]","answer_text":"\$x = \\frac{3}{4}\$","answer":"\$x = \\frac{3}{4}\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":3,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 114 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v4","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"57c71533-3578-44db-89b2-cbb8140c30a6","name":"Логарифмические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"728bc58c-1ce7-411d-8367-ebc8e9dfd104","code":"tag-106","name":"Квадратные уравнения"},{"id":"c8cd9c24-fac7-48ab-b79b-6c5fbd73b985","code":"tag-189","name":"Логарифмические уравнения"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"}]}},{"problem_id":"f3ded233-18c2-400b-bd94-e216697a3a09","collection_id":"40b05b46-9685-4c3f-94b1-b1e516340e40","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"f3ded233-18c2-400b-bd94-e216697a3a09","short_id":17773,"task_number":16,"topic_id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решите неравенство\n\\[\\frac{\\sqrt{1-3x}-1}{\\sqrt{2+x}-1}<1.\\]","answer_text":"\$x \\in [-2,-1)\\cup\\left(-\\frac{1}{4},\\,\\frac{1}{3}\\right]\$","answer":"\$x \\in [-2,-1)\\cup\\left(-\\frac{1}{4},\\,\\frac{1}{3}\\right]\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":4,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 114 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v4","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","name":"Иррациональные неравенства","description":null},"tags":[{"id":"2c55495d-5b54-461b-8a9b-3567966b9d28","code":"tag-40","name":"Метод интервалов"},{"id":"326a65ae-efb0-4ca3-b01b-d170bc5caf10","code":"tag-46","name":"Иррациональные неравенства"},{"id":"3d83bcf4-0d09-4a5d-b894-e2c684238e58","code":"tag-58","name":"Неравенство содержащее радикал"}]}},{"problem_id":"86429df3-e053-4608-8bb6-fc2c42bed6eb","collection_id":"40b05b46-9685-4c3f-94b1-b1e516340e40","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"86429df3-e053-4608-8bb6-fc2c42bed6eb","short_id":17774,"task_number":18,"topic_id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Медианы \$PE\$ и \$QF\$ треугольника \$PQR\$ пересекаются в точке \$S\$. Найдите длину отрезка \$PQ\$, если \$SR=2\$ и известно, что вокруг четырёхугольника \$SERF\$ можно описать окружность.","answer_text":"\$2\\sqrt{3}\$","answer":"\$2\\sqrt{3}\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":5,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 114 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v4","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","name":"Треугольники","description":null},"tags":[{"id":"571cbc3f-ec88-4837-b0f7-266854acd8f6","code":"tag-81","name":"Окружность, описанная вокруг четырехугольника"},{"id":"720324ca-61cd-4043-8f06-78f5c54c5067","code":"tag-105","name":"Координаты вектора, скалярное произведение векторов, угол между векторами"},{"id":"a42676d8-721d-416b-9509-d365704bb645","code":"tag-151","name":"Треугольник"}]}},{"problem_id":"e45b941c-5de3-434c-ab3e-11b8c06f96c0","collection_id":"40b05b46-9685-4c3f-94b1-b1e516340e40","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"e45b941c-5de3-434c-ab3e-11b8c06f96c0","short_id":17775,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Найдите наибольшее из значений функции\n\\[\\frac{10^x}{25^{x-1}+10^x+4^{x+1}}\\]\nи точку \$x\$, в которой это значение достигается.","answer_text":"\$\\frac{5}{9}\$ при \$x=\\log_{2{,}5}10\$","answer":"\$\\frac{5}{9}\$ при \$x=\\log_{2{,}5}10\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":6,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 114 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v4","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"164a5062-f1e8-49cd-ad14-ee6f3e291522","code":"tag-23","name":"Уравнения рациональные относительно показательных функций"},{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"e505916c-c20a-4e24-b7cc-04fdbdd28d69","code":"tag-221","name":"Наименьшее, наибольшее значение функции во внутренней точке отрезка"}]}},{"problem_id":"9a125007-0b50-40e0-baec-f0495f975f45","collection_id":"40b05b46-9685-4c3f-94b1-b1e516340e40","display_order":7,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"9a125007-0b50-40e0-baec-f0495f975f45","short_id":17776,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"В кубе с ребром 1 расположены две сферы различных радиусов. Первая касается плоскости основания и двух соседних боковых граней куба. Вторая сфера касается двух других боковых граней куба, грани куба, параллельной основанию, и первого шара. Чему равна сумма радиусов сфер?","answer_text":"\$\\dfrac{3-\\sqrt{3}}{2}\$","answer":"\$\\dfrac{3-\\sqrt{3}}{2}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":7,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 114 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v4","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"3b97625c-be8d-4f55-ad67-ea93390b646a","code":"tag-55","name":"Система шаров"},{"id":"a10bcfea-9448-4bdb-b69b-2dc377bcf4de","code":"tag-144","name":"Куб"},{"id":"b08fa4e2-4af6-40f5-ad34-408bf3068be7","code":"tag-165","name":"Шар"},{"id":"d32e29f3-03cd-4611-a30a-5cd040c54cdd","code":"tag-198","name":"Координаты на прямой, декартовы координаты на плоскости и в пространстве"}]}},{"problem_id":"40ad67d1-0681-4700-8128-2efcc737e8c0","collection_id":"40b05b46-9685-4c3f-94b1-b1e516340e40","display_order":8,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"40ad67d1-0681-4700-8128-2efcc737e8c0","short_id":17777,"task_number":19,"topic_id":"000fc2fd-c5a2-455f-aa01-620d43e2e4ea","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Решите систему неравенств\n\\[\\begin{cases}5x^2-2xy+9y^2\\leqslant 1,\\\\ 3x-5y\\leqslant -2.\\end{cases}\\]","answer_text":"\$x = -\\frac{1}{4},\\ y = \\frac{1}{4}\$","answer":"\$x = -\\frac{1}{4},\\ y = \\frac{1}{4}\$","solution_text":"$61","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":8,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 114 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v4","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"000fc2fd-c5a2-455f-aa01-620d43e2e4ea","name":"Нестандартная алгебра","description":null},"tags":[{"id":"378ecccb-5211-4448-b874-8f22ba33c931","code":"tag-50","name":"Квадратные неравенства"},{"id":"bdc218ab-0917-4a7d-9ebf-df1a98e2ace6","code":"tag-180","name":"Системы неравенств"},{"id":"d32e29f3-03cd-4611-a30a-5cd040c54cdd","code":"tag-198","name":"Координаты на прямой, декартовы координаты на плоскости и в пространстве"}]}}],"total":8},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ