Задача №17773

Решите неравенство

$$\frac{\sqrt{1-3x}-1}{\sqrt{2+x}-1}<1.$$

Найдём область допустимых значений. Подкоренные выражения неотрицательны: $1-3x⩾0\text{,}$ то есть $x⩽\frac{1}{3}\text{,}$ и $2+x⩾0\text{,}$ то есть $x⩾-2\text{.}$ Знаменатель не равен нулю: $\sqrt{2+x}-1\ne 0\text{,}$ то есть $2+x\ne 1\text{,}$ $x\ne -1\text{.}$ Таким образом, ОДЗ: $x\in [-2,\frac{1}{3}]\setminus \{-1\}\text{.}$

Перенесём единицу в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\sqrt{1-3x}-1}{\sqrt{2+x}-1}-1<0⟺\frac{\sqrt{1-3x}-1-(\sqrt{2+x}-1)}{\sqrt{2+x}-1}<0⟺\frac{\sqrt{1-3x}-\sqrt{2+x}}{\sqrt{2+x}-1}<0.$$

Исследуем знаки числителя и знаменателя на ОДЗ.

Числитель $\sqrt{1-3x}-\sqrt{2+x}\text{.}$ Так как обе подкоренные функции неотрицательны, его знак совпадает со знаком разности подкоренных выражений $(1-3x)-(2+x)=-1-4x\text{.}$ Эта разность обращается в нуль при $x=-\frac{1}{4}\text{;}$ при $x<-\frac{1}{4}$ она положительна (числитель $>0$), при $x>-\frac{1}{4}$ — отрицательна (числитель $<0$).

Знаменатель $\sqrt{2+x}-1\text{.}$ Функция $\sqrt{2+x}$ возрастает и равна $1$ при $x=-1\text{;}$ значит, при $x\in [-2,-1)$ знаменатель отрицателен, при $x\in (-1,\frac{1}{3}]$ положителен.

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Разобьём ОДЗ точками $x=-1$ и $x=-\frac{1}{4}\text{:}$

Неравенство (строгое) выполняется на промежутках $[-2,-1)$ и $\left(-\frac{1}{4},\frac{1}{3}\right]\text{.}$

Проверим граничные точки. При $x=-2\text{:}$ $\frac{\sqrt{7}-1}{0-1}=1-\sqrt{7}\approx -1,65<1$ — входит. При $x=\frac{1}{3}\text{:}$ $\frac{\sqrt{0}-1}{\sqrt{7/3}-1}=\frac{-1}{\sqrt{7/3}-1}\approx -1,90<1$ — входит. Точка $x=-1$ исключена (знаменатель равен нулю, дробь не определена). Точка $x=-\frac{1}{4}$ исключена: там числитель равен нулю, дробь равна $0\text{,}$ то есть исходное выражение равно $1\text{,}$ а неравенство строгое.

$$\boxed{x\in [-2,-1)\cup \left(-\frac{1}{4},\frac{1}{3}\right]}$$