Решите неравенство (sqrt(1-3x)-1)/(sqrt(2+x)-1)<1.

Найдём область допустимых значений. Подкоренные выражения неотрицательны: 1-3x 0, то есть x(1)/(3), и 2+x 0, то есть x -2. Знаменатель не равен нулю: sqrt(2+x)-1!= 0, то есть 2+x!= 1, x!= -1. Таким образом, ОДЗ: xin[-2,(1)/(3)]-1. Перенесём единицу в левую часть и приведём к общему знаменателю: (sqrt(1-3x)-1)/(sqrt(2+x)-1)-1<0 (sqrt(1-3x)-1-(sqrt(2+x)-1))/(sqrt(2+x)-1)<0 (sqrt(1-3x)-sqrt(2+x))/(sqrt(2+x)-1)<0. Исследуем знаки числителя и знаменателя на ОДЗ. Числитель sqrt(1-3x)-sqrt(2+x). Так как обе подкоренные функции неотрицательны, его знак совпадает со знаком разности подкоренных выражений (1-3x)-(2+x)=-1-4x. Эта разность обращается в нуль при x=-(1)/(4); при x<-(1)/(4) она положительна (числитель >0), при x>-(1)/(4) — отрицательна (числитель <0). Знаменатель sqrt(2+x)-1. Функция sqrt(2+x) возрастает и равна 1 при x=-1; значит, при xin[-2,-1) знаменатель отрицателен, при xin(-1,(1)/(3)] положителен. Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Разобьём ОДЗ точками x=-1 и x=-(1)/(4): | Промежуток | Числитель | Знаменатель | Дробь | |---|---|---|---| | [-2,-1) | + | - | - (<0) | | (-1,-14) | + | + | + | | (-14,13] | - | + | - (<0) | Неравенство (строгое) выполняется на промежутках [-2,-1) и (-(1)/(4),(1)/(3)]. Проверим граничные точки. При x=-2: (sqrt(7)-1)/(0-1)=1-sqrt(7)~-1,65<1 — входит. При x=(1)/(3): (sqrt(0)-1)/(sqrt(7/3)-1)=(-1)/(sqrt(7/3)-1)~-1,90<1 — входит. Точка x=-1 исключена (знаменатель равен нулю, дробь не определена). Точка x=-(1)/(4) исключена: там числитель равен нулю, дробь равна 0, то есть исходное выражение равно 1, а неравенство строгое. xin[-2,-1)U(-(1)/(4),(1)/(3)]

x \in [-2,-1)\cup\left(-\frac{1}{4},\,\frac{1}{3}\right]