Решите систему неравенств cases5x^2-2xy+9y^2 1, 3x-5y -2.cases

Квадратичная форма первого неравенства соответствует матрице pmatrix5&-1-1&9pmatrix: её определитель равен 5* 9-(-1)^2=44>0, а угловой минор 5>0, поэтому форма положительно определена, и 5x^2-2xy+9y^2 1 задаёт замкнутый эллипс (вместе с границей). Сделаем сдвиг в предполагаемую точку касания: положим u=x+14, v=y-14, то есть x=u-14, y=v+14. Подставляя в неравенства, после раскрытия скобок получаем 5x^2-2xy+9y^2-1=(5u^2-2uv+9v^2)-3u+5v, 3x-5y+2=3u-5v. Поэтому исходная система равносильна casesg:=5u^2-2uv+9v^2-3u+5v 0,[2pt] h:=3u-5v 0.cases Ключевое наблюдение: линейная часть g равна -3u+5v=-h, поэтому g+h=(5u^2-2uv+9v^2-3u+5v)+(3u-5v)=5u^2-2uv+9v^2. Правая часть — та же положительно определённая форма, значит g+h 0 для всех (u,v), причём g+h=0 лишь при u=v=0. С другой стороны, из системы g 0 и h 0 следует g+h 0. Совмещая с g+h 0, получаем g+h=0, откуда 5u^2-2uv+9v^2=0 u=v=0. Следовательно, u=0, v=0, то есть x=-14, y=14. Прямая проверка: 5*116-2*(-14)*14+9*116=(5+2+9)/(16)=1 1 и 3*(-14)-5*14=-2 -2 — оба неравенства обращаются в равенства. Геометрически прямая 3x-5y=-2 касается эллипса 5x^2-2xy+9y^2=1 в этой точке, а полуплоскость 3x-5y -2 лежит вне эллипса, кроме самой точки касания. Итак, система имеет единственное решение x=-14, y=14.

x = -\frac{1}{4},\ y = \frac{1}{4}