Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
ДВИ МГУ
Решите систему неравенств
{5x2−2xy+9y2⩽1,3x−5y⩽−2.Квадратичная форма первого неравенства соответствует матрице (5−1−19): её определитель равен 5⋅9−(−1)2=44>0, а угловой минор 5>0, поэтому форма положительно определена, и 5x2−2xy+9y2⩽1 задаёт замкнутый эллипс (вместе с границей).
Сделаем сдвиг в предполагаемую точку касания: положим
u=x+41,v=y−41,то естьx=u−41, y=v+41.Подставляя в неравенства, после раскрытия скобок получаем
5x2−2xy+9y2−1=(5u2−2uv+9v2)−3u+5v, 3x−5y+2=3u−5v.Поэтому исходная система равносильна
{g:=5u2−2uv+9v2−3u+5v⩽0,h:=3u−5v⩽0.Ключевое наблюдение: линейная часть g равна −3u+5v=−h, поэтому
g+h=(5u2−2uv+9v2−3u+5v)+(3u−5v)=5u2−2uv+9v2.Правая часть — та же положительно определённая форма, значит g+h⩾0 для всех (u,v), причём g+h=0 лишь при u=v=0.
С другой стороны, из системы g⩽0 и h⩽0 следует g+h⩽0. Совмещая с g+h⩾0, получаем g+h=0, откуда
5u2−2uv+9v2=0⟹u=v=0.Следовательно, u=0, v=0, то есть x=−41, y=41. Прямая проверка: 5⋅161−2⋅(−41)⋅41+9⋅161=165+2+9=1⩽1 и 3⋅(−41)−5⋅41=−2⩽−2 — оба неравенства обращаются в равенства. Геометрически прямая 3x−5y=−2 касается эллипса 5x2−2xy+9y2=1 в этой точке, а полуплоскость 3x−5y⩽−2 лежит вне эллипса, кроме самой точки касания.
Итак, система имеет единственное решение x=−41, y=41.