В кубе с ребром 1 расположены две сферы различных радиусов. Первая касается плоскости основания и двух соседних боковых граней куба. Вторая сфера касается двух других боковых граней куба, грани куба,...

Задача №17776: Стереометрия

Введём прямоугольную систему координат с началом в вершине куба и осями вдоль рёбер, так что куб занимает область $0 ⩽ x ⩽ 1,$ $0 ⩽ y ⩽ 1,$ $0 ⩽ z ⩽ 1 .$ Основанием считаем грань $z = 0,$ параллельной ему — грань $z = 1 .$

Пусть $r_{1}$ — радиус первой сферы. Она касается основания $z = 0$ и двух соседних боковых граней; возьмём их $x = 0$ и $y = 0 .$ Сфера, касающаяся трёх взаимно перпендикулярных граней, имеет центр, отстоящий от каждой из них на свой радиус, поэтому центр первой сферы есть

O_{1} = (r_{1}, r_{1}, r_{1}) .

Пусть $r_{2}$ — радиус второй сферы. Она касается двух других боковых граней (то есть $x = 1$ и $y = 1$ ) и грани $z = 1,$ параллельной основанию. Аналогично её центр отстоит от каждой из этих трёх граней на $r_{2},$ значит

O_{2} = (1 - r_{2}, 1 - r_{2}, 1 - r_{2}) .

Каждый из центров лежит на главной диагонали куба, идущей из вершины $(0, 0, 0)$ в $(1, 1, 1) .$ Сферы касаются друг друга внешним образом, поэтому расстояние между центрами равно сумме радиусов:

∣ O_{1} O_{2} ∣ = r_{1} + r_{2} .

Вычислим квадрат расстояния между центрами:

∣ O_{1} O_{2} ∣^{2} = 3 ((1 - r_{2}) - r_{1})^{2} = 3 (1 - r_{1} - r_{2})^{2} .

Обозначим искомую сумму $s = r_{1} + r_{2} .$ Условие касания принимает вид

3 (1 - s)^{2} = s^{2} .

Заметим, что геометрически центры расположены так, что точка касания лежит между ними на диагонали, поэтому $1 - s > 0;$ извлекая корень с учётом $s > 0,$ получаем

3 (1 - s) = s ⟺ 3 = s (1 + 3) ⟺ s = \frac{3}{1 + 3} = \frac{3 ( 3 - 1 )}{( 3 + 1 ) ( 3 - 1 )} = \frac{3 - 3}{2} .

Формально квадратное уравнение $3 (1 - s)^{2} = s^{2},$ то есть $2 s^{2} - 6 s + 3 = 0,$ имеет два корня

s = \frac{3 \pm 3}{2} .

Корень $s = \frac{3 + 3}{2} \approx 2, 37$ посторонний: каждый радиус не превосходит $\frac{1}{2}$ (центр сферы, касающейся трёх граней, должен лежать внутри куба, откуда $1 - r ⩾ r,$ то есть $r ⩽ \frac{1}{2}$ ), поэтому $s = r_{1} + r_{2} ⩽ 1 .$ Подходит только

s = \frac{3 - 3}{2} \approx 0, 634.

Проверка совместности с условием «сферы различных радиусов»: касание фиксирует лишь сумму $r_{1} + r_{2},$ а не сами радиусы. Любое разбиение $s = \frac{3 - 3}{2}$ на слагаемые с $r_{1}, r_{2} \in (0, \frac{1}{2}]$ (например, $r_{1} \approx 0, 30,$ $r_{2} \approx 0, 33$ ) даёт допустимую конфигурацию; в частности, существуют разбиения с $r_{1} \neq = r_{2},$ так что требование различных радиусов выполнимо и на ответ не влияет.

Итак, сумма радиусов равна $\frac{3 - 3}{2} .$

O_{1} = (r_{1}, r_{1}, r_{1}) .

O_{2} = (1 - r_{2}, 1 - r_{2}, 1 - r_{2}) .

∣ O_{1} O_{2} ∣ = r_{1} + r_{2} .

Вычислим квадрат расстояния между центрами:

∣ O_{1} O_{2} ∣^{2} = 3 ((1 - r_{2}) - r_{1})^{2} = 3 (1 - r_{1} - r_{2})^{2} .

Обозначим искомую сумму $s = r_{1} + r_{2} .$ Условие касания принимает вид

3 (1 - s)^{2} = s^{2} .

3 (1 - s) = s ⟺ 3 = s (1 + 3) ⟺ s = \frac{3}{1 + 3} = \frac{3 ( 3 - 1 )}{( 3 + 1 ) ( 3 - 1 )} = \frac{3 - 3}{2} .

Формально квадратное уравнение $3 (1 - s)^{2} = s^{2},$ то есть $2 s^{2} - 6 s + 3 = 0,$ имеет два корня

s = \frac{3 \pm 3}{2} .

s = \frac{3 - 3}{2} \approx 0, 634.

Итак, сумма радиусов равна $\frac{3 - 3}{2} .$

Задача №17776

Задача #17776

Решай похожие задачи

Информация

Задача №17776

Задача #17776

Решай похожие задачи

Информация

Задача #17776

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация

Задача #17776

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация