В кубе с ребром 1 расположены две сферы различных радиусов. Первая касается плоскости основания и двух соседних боковых граней куба. Вторая сфера касается двух других боковых граней куба, грани куба, параллельной основанию, и первого шара. Чему равна сумма радиусов сфер?

Введём прямоугольную систему координат с началом в вершине куба и осями вдоль рёбер, так что куб занимает область 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1. Основанием считаем грань z=0, параллельной ему — грань z=1. Пусть r_1 — радиус первой сферы. Она касается основания z=0 и двух соседних боковых граней; возьмём их x=0 и y=0. Сфера, касающаяся трёх взаимно перпендикулярных граней, имеет центр, отстоящий от каждой из них на свой радиус, поэтому центр первой сферы есть O_1=(r_1,r_1,r_1). Пусть r_2 — радиус второй сферы. Она касается двух других боковых граней (то есть x=1 и y=1) и грани z=1, параллельной основанию. Аналогично её центр отстоит от каждой из этих трёх граней на r_2, значит O_2=(1-r_2,1-r_2,1-r_2). Каждый из центров лежит на главной диагонали куба, идущей из вершины (0,0,0) в (1,1,1). Сферы касаются друг друга внешним образом, поэтому расстояние между центрами равно сумме радиусов: |O_1O_2|=r_1+r_2. Вычислим квадрат расстояния между центрами: |O_1O_2|^2=3((1-r_2)-r_1)^2=3(1-r_1-r_2)^2. Обозначим искомую сумму s=r_1+r_2. Условие касания принимает вид 3(1-s)^2=s^2. Заметим, что геометрически центры расположены так, что точка касания лежит между ними на диагонали, поэтому 1-s>0; извлекая корень с учётом s>0, получаем sqrt(3)(1-s)=s sqrt(3)=s(1+sqrt(3)) s=(sqrt(3))/(1+sqrt(3))=(sqrt(3)(sqrt(3)-1))/((sqrt(3)+1)(sqrt(3)-1))=(3-sqrt(3))/(2). Формально квадратное уравнение 3(1-s)^2=s^2, то есть 2s^2-6s+3=0, имеет два корня s=(3+-sqrt(3))/(2). Корень s=(3+sqrt(3))/(2)~ 2,37 посторонний: каждый радиус не превосходит 12 (центр сферы, касающейся трёх граней, должен лежать внутри куба, откуда 1-r r, то есть r12), поэтому s=r_1+r_2 1. Подходит только s=(3-sqrt(3))/(2)~ 0,634. Проверка совместности с условием «сферы различных радиусов»: касание фиксирует лишь сумму r_1+r_2, а не сами радиусы. Любое разбиение s=(3-sqrt(3))/(2) на слагаемые с r_1,r_2in(0,12] (например, r_1~ 0,30, r_2~ 0,33) даёт допустимую конфигурацию; в частности, существуют разбиения с r_1!= r_2, так что требование различных радиусов выполнимо и на ответ не влияет. Итак, сумма радиусов равна (3-sqrt(3))/(2).

\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}