Медианы PE и QF треугольника PQR пересекаются в точке S. Найдите длину отрезка PQ, если SR=2 и известно, что вокруг четырёхугольника SERF можно описать окружность.

Точка S — точка пересечения медиан PE и QF, то есть центроид треугольника PQR. По условию E — середина стороны QR (конец медианы PE), F — середина стороны PR (конец медианы QF). Введём векторы из вершины R: положим p=RP, q=RQ, и обозначим b=|p|^2=RP^2, c=|q|^2=RQ^2, d=p*q. Тогда RE=12q, RF=12p, RS=13(p+q), так как центроид S=13(P+Q+R). **Условие вписанности.** Четыре точки S,E,R,F лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда обращается в нуль определитель концикличности vmatrix |S|^2 & S_x & S_y & 1 |E|^2 & E_x & E_y & 1 |R|^2 & R_x & R_y & 1 |F|^2 & F_x & F_y & 1vmatrix=0. Раскрывая его, получаем (с точностью до ненулевого множителя — удвоенной площади невырожденного треугольника) равносильное условие RP^2+RQ^2-4p*q=0, то есть b+c=4d. **Выражение SR и PQ.** Имеем SR^2=|RS|^2=19(b+c+2d), PQ^2=|p-q|^2=b+c-2d. Подставляя условие вписанности d=(b+c)/(4), находим SR^2=(b+c+(b+c)/(2))/(9)=(b+c)/(6), PQ^2=b+c-(b+c)/(2)=(b+c)/(2). Отсюда не зависящее от формы треугольника соотношение PQ^2=3SR^2. **Подстановка данных.** При SR=2 получаем PQ^2=3* 4=12, значит PQ=2sqrt(3). Геометрически условие b+c=4d при подходящем выборе сторон выполнимо (например, при RP=RQ оно даёт R=60^), так что искомая конфигурация существует; величина PQ однозначно определяется значением SR.

2\sqrt{3}