Задача №17774

Медианы $PE$ и $QF$ треугольника $PQR$ пересекаются в точке $S\text{.}$ Найдите длину отрезка $PQ\text{,}$ если $SR=2$ и известно, что вокруг четырёхугольника $SERF$ можно описать окружность.

Точка $S$ — точка пересечения медиан $PE$ и $QF\text{,}$ то есть центроид треугольника $PQR\text{.}$ По условию $E$ — середина стороны $QR$ (конец медианы $PE$), $F$ — середина стороны $PR$ (конец медианы $QF$).

Введём векторы из вершины $R\text{:}$ положим $\mathbf{p}=\overrightarrow{RP}\text{,}$ $\mathbf{q}=\overrightarrow{RQ}\text{,}$ и обозначим $b=|\mathbf{p}{|}^2=R{P}^2\text{,}$ $c=|\mathbf{q}{|}^2=R{Q}^2\text{,}$ $d=\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}\text{.}$ Тогда

так как центроид $S=\frac{1}{3}(P+Q+R)\text{.}$

Условие вписанности. Четыре точки $S,E,R,F$ лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда обращается в нуль определитель концикличности

Раскрывая его, получаем (с точностью до ненулевого множителя — удвоенной площади невырожденного треугольника) равносильное условие

Выражение $SR$ и $PQ\text{.}$ Имеем

Подставляя условие вписанности $d=\frac{b+c}{4}\text{,}$ находим

Отсюда не зависящее от формы треугольника соотношение

Подстановка данных. При $SR=2$ получаем $P{Q}^2=3\cdot 4=12\text{,}$ значит

Геометрически условие $b+c=4d$ при подходящем выборе сторон выполнимо (например, при $RP=RQ$ оно даёт $\angle R=60^{\circ }$), так что искомая конфигурация существует; величина $PQ$ однозначно определяется значением $SR\text{.}$