Задача №17772

Решите уравнение

$${\log }_3(2x+1)={\log }_9(4+3x).$$

Областью допустимых значений уравнения служат условия положительности аргументов логарифмов:

$$\{\begin{array}{l}2x+1>0,\\ 4+3x>0,\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x>-\frac{1}{2},\\ x>-\frac{4}{3},\end{array}⟺x>-\frac{1}{2}.$$

Приведём правую часть к основанию $3\text{.}$ Поскольку $9=3^2\text{,}$ то

$${\log }_9(4+3x)=\frac{{\log }_3(4+3x)}{{\log }_{3}9}=\frac{1}{2}{\log }_3(4+3x).$$

Уравнение принимает вид

$${\log }_3(2x+1)=\frac{1}{2}{\log }_3(4+3x),$$

откуда, умножив на $2$ и воспользовавшись тем, что $2{\log }_3(2x+1)={\log }_3(2x+1{)}^2$ (на ОДЗ $2x+1>0$ это законно), получаем

$${\log }_3(2x+1{)}^2={\log }_3(4+3x).$$

В силу строгой монотонности логарифма это равносильно равенству аргументов:

$$(2x+1{)}^2=4+3x.$$

Раскрываем и приводим к квадратному уравнению:

$$4x^2+4x+1=4+3x⟺4x^2+x-3=0.$$

Дискриминант $D=1+48=49\text{,}$ корни

$$x=\frac{-1\pm 7}{8}⟹x_1=\frac{3}{4},x_2=-1.$$

Проверяем корни на ОДЗ ($x>-\frac{1}{2}$):

$$x_2=-1<-\frac{1}{2}$$

— посторонний корень (при нём $2x+1=-1<0\text{,}$ логарифм ${\log }_3(2x+1)$ не определён); отбрасываем.

$$x_1=\frac{3}{4}>-\frac{1}{2}$$

— входит в ОДЗ.

Подстановка $x=\frac{3}{4}\text{:}$ $2x+1=\frac{5}{2}>0\text{,}$ $4+3x=\frac{25}{4}>0\text{,}$ и

$${\log }_3\frac{5}{2}=\frac{1}{2}{\log }_3\frac{25}{4}={\log }_9\frac{25}{4},$$

так как ${\left(\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{25}{4}\text{.}$ Равенство выполнено.

Итак, единственное решение $x=\frac{3}{4}\text{.}$