Решите уравнение _3(2x+1)=_9(4+3x).

Областью допустимых значений уравнения служат условия положительности аргументов логарифмов: cases2x+1>0, 4+3x>0,cases>-12, x>-43,cases x>-12. Приведём правую часть к основанию 3. Поскольку 9=3^2, то _9(4+3x)=(_3(4+3x))/(_3 9)=12_3(4+3x). Уравнение принимает вид _3(2x+1)=12_3(4+3x), откуда, умножив на 2 и воспользовавшись тем, что 2_3(2x+1)=_3(2x+1)^2 (на ОДЗ 2x+1>0 это законно), получаем _3(2x+1)^2=_3(4+3x). В силу строгой монотонности логарифма это равносильно равенству аргументов: (2x+1)^2=4+3x. Раскрываем и приводим к квадратному уравнению: 4x^2+4x+1=4+3x 4x^2+x-3=0. Дискриминант D=1+48=49, корни x=(-1+- 7)/(8)_1=34, x_2=-1. Проверяем корни на ОДЗ (x>-12): x_2=-1<-12 — посторонний корень (при нём 2x+1=-1<0, логарифм _3(2x+1) не определён); отбрасываем. x_1=34>-12 — входит в ОДЗ. Подстановка x=34: 2x+1=52>0, 4+3x=(25)/(4)>0, и _352=12_3(25)/(4)=_9(25)/(4), так как (52)^2=(25)/(4). Равенство выполнено. Итак, единственное решение x=34.

x = \frac{3}{4}