Решите уравнение (sin x-cos x)^2=2.

Решим уравнение (sin x-cos x)^2=2. Раскроем квадрат: (sin x-cos x)^2=sin^2 x-2sin xcos x+cos^2 x=1-2sin xcos x=1-sin 2x. Здесь использованы основное тригонометрическое тождество sin^2 x+cos^2 x=1 и формула двойного угла 2sin xcos x=sin 2x. Уравнение принимает вид 1-sin 2x=2 sin 2x=-1. Уравнение sin 2x=-1 имеет решения 2x=-(pi)/(2)+2pi n, ninZ, откуда x=-(pi)/(4)+pi n, ninZ. Эта серия совпадает с x=(3pi)/(4)+pi n (отличие на pi, то есть лишь сдвиг индекса n), поэтому ответ можно записать в виде x=(3pi)/(4)+pi n, ninZ. Замечания о корректности. ОДЗ всё множество R: функции sin x,cos x определены всюду, ограничений нет. Все преобразования (раскрытие квадрата, тождества) равносильны, возведения в степень или умножения на выражение с переменной не выполнялось, поэтому посторонних корней не возникает и потери корней нет. Альтернативный путь даёт тот же результат: sin x-cos x=sqrt(2)sin(x-(pi)/(4)), тогда (sin x-cos x)^2=2sin^2(x-(pi)/(4))=2, то есть sin^2(x-(pi)/(4))=1, x-(pi)/(4)=(pi)/(2)+pi n, x=(3pi)/(4)+pi n.

x = \dfrac{3\pi}{4} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}