Задача №17771

Решите уравнение $(\sin x-\cos x{)}^2=2\text{.}$

Решим уравнение $(\sin x-\cos x{)}^2=2\text{.}$

Раскроем квадрат:

Здесь использованы основное тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ и формула двойного угла $2\sin x\cos x=\sin 2x\text{.}$

Уравнение принимает вид

Уравнение $\sin 2x=-1$ имеет решения

откуда

Эта серия совпадает с $x=\frac{3\pi }{4}+\pi n$ (отличие на $\pi \text{,}$ то есть лишь сдвиг индекса $n$), поэтому ответ можно записать в виде

Замечания о корректности. ОДЗ всё множество $\mathbb{R}\text{:}$ функции $\sin x,\cos x$ определены всюду, ограничений нет. Все преобразования (раскрытие квадрата, тождества) равносильны, возведения в степень или умножения на выражение с переменной не выполнялось, поэтому посторонних корней не возникает и потери корней нет. Альтернативный путь даёт тот же результат: $\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\text{,}$ тогда $(\sin x-\cos x{)}^2=2{\sin }^2\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=2\text{,}$ то есть ${\sin }^2\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=1\text{,}$ $x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+\pi n\text{,}$ $x=\frac{3\pi }{4}+\pi n\text{.}$