Задача №17775

Найдите наибольшее из значений функции

$$\frac{10^x}{25^{x-1}+10^x+4^{x+1}}$$

и точку $x\text{,}$ в которой это значение достигается.

Обозначим $f(x)=\frac{10^x}{25^{x-1}+10^x+4^{x+1}}\text{.}$ Областью определения служит вся числовая прямая, и при всех $x$ выполнено $f(x)>0\text{.}$

Разделим числитель и знаменатель на $10^x=5^x\cdot 2^x>0\text{.}$ Учитывая

$$\frac{25^{x-1}}{10^x}=\frac{1}{25}\cdot \frac{25^x}{10^x}=\frac{1}{25}{\left(\frac{5}{2}\right)}^x,\frac{4^{x+1}}{10^x}=4\cdot \frac{4^x}{10^x}=4{\left(\frac{2}{5}\right)}^x,$$

получаем

$$f(x)=\frac{1}{\frac{1}{25}{\left(\frac{5}{2}\right)}^x+1+4{\left(\frac{2}{5}\right)}^x}.$$

Сделаем замену $t={\left(\frac{5}{2}\right)}^x\text{;}$ тогда ${\left(\frac{2}{5}\right)}^x=\frac{1}{t}\text{,}$ причём $t>0$ пробегает все положительные значения (показательная функция с основанием $\frac{5}{2}>1$ непрерывна и биективно отображает $\mathbb{R}$ на $(0,+\infty )$). В новых обозначениях

$$f=\frac{1}{g(t)},g(t)=\frac{t}{25}+1+\frac{4}{t},t>0.$$

Поскольку числитель дроби равен $1\text{,}$ а $g(t)>0\text{,}$ наибольшее значение $f$ достигается там, где $g(t)$ минимален.

К положительным слагаемым $\frac{t}{25}$ и $\frac{4}{t}$ применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

$$\frac{t}{25}+\frac{4}{t}⩾2\sqrt{\frac{t}{25}\cdot \frac{4}{t}}=2\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{4}{5},$$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $\frac{t}{25}=\frac{4}{t}\text{,}$ то есть $t^2=100\text{,}$ $t=10$ (берём положительный корень). Следовательно,

$$g(t)⩾\frac{4}{5}+1=\frac{9}{5},$$

и минимум $g_{\min }=\frac{9}{5}$ достигается при $t=10\text{.}$ Тем самым

$$f(x)⩽\frac{1}{9/5}=\frac{5}{9},$$

и наибольшее значение функции равно $\frac{5}{9}\text{.}$

Найдём точку, в которой оно достигается. Условие $t=10$ означает ${\left(\frac{5}{2}\right)}^x=10\text{,}$ откуда

$$x={\log }_{5/2}10={\log }_{2,5}10=\frac{\ln 10}{\ln 2,5}\approx 2,513.$$

Это действительно глобальный максимум: $g(t)\to +\infty$ при $t\to 0^{+}$ и при $t\to +\infty \text{,}$ а единственная критическая точка $t=10$ (из $g^{\prime }(t)=\frac{1}{25}-\frac{4}{t^2}=0$) даёт минимум, поскольку $g^{\prime \prime }(10)=\frac{8}{t^3}{|}_{t=10}>0\text{.}$

Проверка подстановкой: при $t=10$ знаменатель исходной дроби (после деления) равен $\frac{10}{25}+1+\frac{4}{10}=\frac{2}{5}+1+\frac{2}{5}=\frac{9}{5}\text{,}$ значит $f=\frac{5}{9}\text{.}$

Ответ: наибольшее значение $\frac{5}{9}$ достигается при $x={\log }_{2,5}10\text{.}$