Найдите наибольшее из значений функции (10^x)/(25^(x-1)+10^x+4^(x+1)) и точку x, в которой это значение достигается.

Обозначим f(x)=(10^x)/(25^(x-1)+10^x+4^(x+1)). Областью определения служит вся числовая прямая, и при всех x выполнено f(x)>0. Разделим числитель и знаменатель на 10^x=5^x* 2^x>0. Учитывая (25^(x-1))/(10^x)=(1)/(25)*(25^x)/(10^x)=(1)/(25)((5)/(2))^x, (4^(x+1))/(10^x)=4*(4^x)/(10^x)=4((2)/(5))^x, получаем f(x)=(1)/((1)/(25)((5)/(2))^x+1+4((2)/(5))^x). Сделаем замену t=((5)/(2))^x; тогда ((2)/(5))^x=1t, причём t>0 пробегает все положительные значения (показательная функция с основанием 52>1 непрерывна и биективно отображает R на (0,+inf)). В новых обозначениях f=(1)/(g(t)), g(t)=(t)/(25)+1+(4)/(t), t>0. Поскольку числитель дроби равен 1, а g(t)>0, наибольшее значение f достигается там, где g(t) минимален. К положительным слагаемым (t)/(25) и (4)/(t) применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом: (t)/(25)+(4)/(t) 2sqrt((t)/(25)*(4)/(t))=2sqrt((4)/(25))=(4)/(5), причём равенство достигается тогда и только тогда, когда (t)/(25)=(4)/(t), то есть t^2=100, t=10 (берём положительный корень). Следовательно, g(t) (4)/(5)+1=(9)/(5), и минимум g_()=(9)/(5) достигается при t=10. Тем самым f(x) (1)/(9/5)=(5)/(9), и наибольшее значение функции равно (5)/(9). Найдём точку, в которой оно достигается. Условие t=10 означает ((5)/(2))^x=10, откуда x=_(5/2)10=_(2,)510=(ln 10)/(ln 2,5)~ 2,513. Это действительно глобальный максимум: g(t)+inf при t 0^+ и при t+inf, а единственная критическая точка t=10 (из g'(t)=(1)/(25)-(4)/(t^2)=0) даёт минимум, поскольку g''(10)=(8)/(t^3)|_(t=10)>0. Проверка подстановкой: при t=10 знаменатель исходной дроби (после деления) равен (10)/(25)+1+(4)/(10)=(2)/(5)+1+(2)/(5)=(9)/(5), значит f=(5)/(9). Ответ: наибольшее значение (5)/(9) достигается при x=_(2,)510.

\frac{5}{9} при x=\log_{2{,}5}10