58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T6cc,Раскроем квадрат разности и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. Имеем \[(\cos x-\sin x)^2=\cos^2 x-2\sin x\cos x+\sin^2 x=(\cos^2 x+\sin^2 x)-2\sin x\cos x=1-\sin 2x,\] где применена формула двойного угла $2\sin x\cos x=\sin 2x$. Уравнение определено при всех $x\in\mathbb{R}$ (никаких ограничений области определения нет), поэтому исходное уравнение равносильно цепочке \[(\cos x-\sin x)^2=1\iff 1-\sin 2x=1\iff \sin 2x=0.\] Уравнение $\sin 2x=0$ равносильно условию $2x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$, откуда \[x=\dfrac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb{Z}.\] Все полученные значения являются решениями (преобразование было равносильным, домножения на возможный нуль и возведения в степень, способного добавить посторонние корни, не производилось), потерянных и посторонних корней нет. В частности, в этих точках $\cos x-\sin x=\pm 1$, и квадрат действительно равен $1$: при чётных $n$ (то есть $x=\pi k$) получается $\cos x-\sin x=\pm 1$ за счёт обращения синуса в нуль, а при нечётных $n$ (то есть $x=\tfrac{\pi}{2}+\pi k$) — за счёт обращения в нуль косинуса. **Ответ:** $x=\dfrac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}.$5c:T5ec,Найдём ОДЗ. Подлогарифмические выражения должны быть положительны: \[\begin{cases} 1-3x>0, \\ 5x-1>0. \end{cases}\] Из первого неравенства $x<\dfrac{1}{3}$, из второго $x>\dfrac{1}{5}$. Значит, $x\in\left(\dfrac{1}{5};\dfrac{1}{3}\right)$. Приведём логарифмы к одному основанию. Так как $\log_4 t=\dfrac{1}{2}\log_2 t$, уравнение принимает вид \[\log_2(1-3x)=\tfrac{1}{2}\log_2(5x-1).\] Умножим обе части на $2$: \[2\log_2(1-3x)=\log_2(5x-1),\qquad \log_2(1-3x)^2=\log_2(5x-1).\] Отсюда \[(1-3x)^2=5x-1.\] Раскроем скобки: \[1-6x+9x^2=5x-1,\qquad 9x^2-11x+2=0.\] Дискриминант $D=(-11)^2-4\cdot 9\cdot 2=121-72=49$, поэтому \[x=\frac{11\pm 7}{18},\qquad x_1=1,\quad x_2=\frac{2}{9}.\] Отбор корней. Корень $x_1=1$ не входит в ОДЗ: при нём $1-3\cdot 1=-2<0$. Корень $x_2=\dfrac{2}{9}$ принадлежит промежутку $\left(\dfrac{1}{5};\dfrac{1}{3}\right)$. Проверка. При $x=\dfrac{2}{9}$ имеем $1-3x=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$ и $5x-1=\dfrac{10}{9}-1=\dfrac{1}{9}$. Тогда \[\log_2\frac{1}{3}=-\log_2 3,\qquad \log_4\frac{1}{9}=\tfrac{1}{2}\log_2\frac{1}{9}=\tfrac{1}{2}\cdot(-2\log_2 3)=-\log_2 3.\] Обе части равны, равенство выполнено. Ответ: $x=\dfrac{2}{9}$.5d:Tb0d,Решаем неравенство \[\frac{\sqrt{4x-2}-1}{\sqrt{3x-1}-1}>1.\] **ОДЗ.** Подкоренные выражения неотрицательны: $4x-2\ge 0\Rightarrow x\ge\frac12$ и $3x-1\ge 0\Rightarrow x\ge\frac13$. Связывающим является условие $x\ge\frac12$. Кроме того, знаменатель не равен нулю: $\sqrt{3x-1}-1\neq 0\Rightarrow 3x-1\neq 1\Rightarrow x\neq\frac23$. Итого область определения: $x\in\left[\tfrac12;\tfrac23\right)\cup\left(\tfrac23;+\infty\right)$. **Сведение к знаку дроби.** Переносим единицу влево и приводим к общему знаменателю: \[\frac{\sqrt{4x-2}-1}{\sqrt{3x-1}-1}-1>0\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\bigl(\sqrt{4x-2}-1\bigr)-\bigl(\sqrt{3x-1}-1\bigr)}{\sqrt{3x-1}-1}>0,\] \[\frac{\sqrt{4x-2}-\sqrt{3x-1}}{\sqrt{3x-1}-1}>0.\] Это равносильное преобразование (мы не домножали на знаменатель, чтобы не потерять знак; именно здесь лежит ловушка задачи — знаменатель может быть отрицательным). **Знак числителя** $N(x)=\sqrt{4x-2}-\sqrt{3x-1}$. Так как обе функции под корнями неотрицательны, знак $N(x)$ совпадает со знаком разности подкоренных выражений: $(4x-2)-(3x-1)=x-1$. Значит $N(x)<0$ при $x<1$, $N(1)=0$, $N(x)>0$ при $x>1$. **Знак знаменателя** $D(x)=\sqrt{3x-1}-1$. Имеем $D(x)=0$ при $x=\frac23$; $D(x)<0$ при $x<\frac23$ и $D(x)>0$ при $x>\frac23$ (функция $\sqrt{3x-1}$ возрастает). **Дробь положительна там, где числитель и знаменатель одного знака:** - Оба отрицательны: $N<0$ (т.е. $x<1$) и $D<0$ (т.е. $x<\frac23$). С учётом ОДЗ $x\ge\frac12$ получаем $\dfrac12\le x<\dfrac23$. - Оба положительны: $N>0$ (т.е. $x>1$) и $D>0$ (т.е. $x>\frac23$). Пересечение: $x>1$. **Проверка краёв и особых точек.** - $x=\frac12$: дробь равна $\dfrac{\sqrt{0}-1}{\sqrt{1/2}-1}=\dfrac{-1}{\frac{\sqrt2}{2}-1}=2+\sqrt2\approx3{,}41>1$ — входит. - $x=\frac23$: знаменатель $\sqrt{1}-1=0$ — точка исключена. - $x=1$: дробь равна $\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}=1$, а нужно строго больше — точка исключена. Посторонних корней нет. **Ответ:** $x\in\left[\dfrac12;\dfrac23\right)\cup(1;+\infty).$5e:Tdda,Точки $C$ и $D$ — середины сторон $LM$ и $KM$ соответственно (медианы $KC$ и $LD$ проведены из вершин $K$ и $L$ к серединам противоположных сторон), а $E$ — точка пересечения медиан, то есть центроид треугольника $KLM$. Поместим начало координат в вершину $M$ и обозначим $\vec{u}=\overrightarrow{MK}$, $\vec{v}=\overrightarrow{ML}$. Тогда \[\overrightarrow{MD}=\tfrac12\vec{u},\qquad \overrightarrow{MC}=\tfrac12\vec{v},\qquad \overrightarrow{ME}=\tfrac13(\vec{u}+\vec{v}).\] Заметим, что $D$ лежит на луче $MK$, а $C$ — на луче $ML$; таким образом, прямые $MD$ и $MC$ — это в точности прямые $MK$ и $ML$. Для окружности, описанной около четырёхугольника $ECMD$, точка $M$ — пересечение хорд $MD$ (на прямой $MK$) и $MC$ (на прямой $ML$). Запишем условие принадлежности четырёх точек $E,C,M,D$ одной окружности через определитель \[\det\begin{pmatrix} x^2+y^2 & x & y & 1\end{pmatrix}\Big|_{E,C,M,D}=0.\] После раскрытия (при $M$ в начале координат) этот определитель разлагается на множители \[-\frac{1}{72}\,[\vec{u},\vec{v}]\cdot\Big(|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-4\,(\vec{u}\cdot\vec{v})\Big),\] где $[\vec{u},\vec{v}]=u_xv_y-u_yv_x$ — удвоенная ориентированная площадь треугольника. Для невырожденного треугольника $[\vec{u},\vec{v}]\neq 0$, поэтому условие вписанности $ECMD$ равносильно соотношению \[|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2=4\,(\vec{u}\cdot\vec{v}). \qquad (\ast)\] Используем данные. По условию \[KL^2=|\vec{u}-\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2(\vec{u}\cdot\vec{v})=9.\] Из $(\ast)$ имеем $\vec{u}\cdot\vec{v}=\tfrac14\big(|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2\big)$. Подставляя, получаем \[|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-\tfrac12\big(|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2\big)=9 \;\Longrightarrow\; |\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2=18,\qquad \vec{u}\cdot\vec{v}=\tfrac{18}{4}=\tfrac92.\] Теперь найдём искомую длину: \[EM^2=|\overrightarrow{ME}|^2=\frac19\,|\vec{u}+\vec{v}|^2=\frac19\Big(|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+2(\vec{u}\cdot\vec{v})\Big)=\frac19\Big(18+2\cdot\tfrac92\Big)=\frac{27}{9}=3.\] Следовательно, $EM=\sqrt{3}$. Корректность (проверка края/невырожденности): условие $(\ast)$ даёт целое семейство треугольников (для любых $|\vec{u}|^2,|\vec{v}|^2$ с суммой $18$ и $\vec{u}\cdot\vec{v}=9/2$ при $|\vec{u}\cdot\vec{v}|<|\vec{u}|\,|\vec{v}|$, что выполняется), и во всех таких треугольниках $EM=\sqrt{3}$ одинаково; вырожденные конфигурации ($[\vec{u},\vec{v}]=0$) исключены, так как тогда треугольника и окружности нет. Посторонних решений нет: множитель $[\vec{u},\vec{v}]$ к ответу не приводит. Ответ: $EM=\sqrt{3}$.5f:T7f9,Область определения. Числитель $4^x>0$ при всех $x$. Разделим числитель и знаменатель на $4^x$ и введём замену $t=\left(\dfrac{5}{2}\right)^x=\dfrac{5^x}{2^x}>0$. Так как $\dfrac{5^{2x}}{4^x}=\left(\dfrac{25}{4}\right)^x=t^2$ и $\dfrac{10^x}{4^x}=\left(\dfrac{5}{2}\right)^x=t$, получаем \[\frac{4^x}{2\cdot 5^{2x}-10^x+4^x}=\frac{1}{2t^2-t+1}.\] Знаменатель $g(t)=2t^2-t+1$ имеет дискриминант $D=1-8=-7<0$ и положительный старший коэффициент, поэтому $g(t)>0$ при всех $t$ (в частности, при $t>0$). Значит, исходная функция определена при всех действительных $x$ и положительна. Поиск наибольшего значения. Дробь $\dfrac{1}{g(t)}$ с положительным $g(t)$ наибольшая там, где $g(t)$ наименьшее. Парабола $g(t)=2t^2-t+1$ достигает минимума в вершине \[t_0=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}>0,\] причём $t_0>0$ — значение допустимо ($t>0$ при всех $x$, и $t$ пробегает весь интервал $(0,+\infty)$, так что $t=\tfrac14$ достижимо). Тогда \[g\!\left(\tfrac14\right)=2\cdot\frac{1}{16}-\frac{1}{4}+1=\frac{1}{8}-\frac{1}{4}+1=\frac{7}{8},\] и наибольшее значение функции равно \[\frac{1}{g(t_0)}=\frac{1}{7/8}=\frac{8}{7}.\] Точка максимума. Условие $t=\dfrac14$ даёт $\left(\dfrac{5}{2}\right)^x=\dfrac14$, откуда \[x=\log_{5/2}\frac{1}{4}=-\log_{5/2}4=\log_{2/5}4=-\frac{2\ln 2}{\ln 5-\ln 2}\approx-1{,}513.\] Таким образом, наибольшее значение функции равно $\dfrac{8}{7}$ и достигается в единственной точке $x=\log_{2/5}4=-\log_{5/2}4$.60:Tf77,Введём прямоугольную систему координат, поместив начало в одну из вершин куба и направив оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ вдоль трёх рёбер, выходящих из этой вершины. Тогда дно коробки — это плоскость $z=0$, а сам куб задаётся неравенствами $0\leqslant x\leqslant 8$, $0\leqslant y\leqslant 8$, $0\leqslant z\leqslant 8$. Высота центра шара над дном — это его координата $z$. **Центр первого шара.** Шар радиуса $r_1=2$ касается дна $z=0$ и двух соседних боковых граней. Возьмём в качестве этих граней $x=0$ и $y=0$. Центр шара отстоит от каждой касательной плоскости на расстояние, равное радиусу, поэтому \[O_1=(2,\,2,\,2).\] (Касание дна даёт $z=2$, касание граней $x=0$ и $y=0$ даёт $x=2$, $y=2$.) **Центр второго шара.** Шар радиуса $r_2=3$ касается двух других боковых граней. Поскольку первый шар «занял» грани $x=0$ и $y=0$, двумя другими боковыми гранями являются противоположные им $x=8$ и $y=8$. Расстояние от центра до каждой из этих плоскостей равно радиусу $3$, поэтому \[x_2=8-3=5,\qquad y_2=8-3=5.\] Высоту $z_2$ центра пока считаем неизвестной, так что $O_2=(5,\,5,\,z_2)$, причём по смыслу задачи $z_2>0$. **Условие касания шаров.** Шары касаются внешним образом, поэтому расстояние между их центрами равно сумме радиусов: \[|O_1O_2|=r_1+r_2=2+3=5.\] Запишем это через координаты: \[(5-2)^2+(5-2)^2+(z_2-2)^2=5^2,\] \[9+9+(z_2-2)^2=25\iff (z_2-2)^2=7.\] Отсюда \[z_2-2=\pm\sqrt{7}\iff z_2=2+\sqrt{7}\quad\text{или}\quad z_2=2-\sqrt{7}.\] **Отбор корня.** Так как $\sqrt{7}\approx 2{,}65$, второй корень $z_2=2-\sqrt{7}\approx-0{,}65<0$ даёт центр ниже дна коробки и невозможен (тогда нижняя точка шара $z_2-r_2\approx-3{,}65$ оказалась бы далеко под дном). Поэтому остаётся \[z_2=2+\sqrt{7}.\] **Проверка совместности конфигурации.** Убедимся, что при $z_2=2+\sqrt{7}$ второй шар целиком помещается в коробке и касания не противоречат друг другу. - По осям $x$ и $y$: центр имеет координаты $5$, радиус $3$, значит шар касается граней $x=8$ и $y=8$ и не выходит за грани $x=0$, $y=0$ (так как $5\geqslant 3$). - Снизу: $z_2-r_2=2+\sqrt{7}-3=\sqrt{7}-1\approx 1{,}65>0$ — шар не протыкает дно. - Сверху: $z_2+r_2=5+\sqrt{7}\approx 7{,}65\leqslant 8$ — шар не протыкает крышку. Первый шар с центром $(2,2,2)$ и радиусом $2$ также целиком лежит в кубе. Расстояние между центрами равно ровно $5=r_1+r_2$, то есть шары касаются внешним образом и не пересекаются. Все условия задачи выполнены. Таким образом, центр второго шара находится над дном коробки на высоте \[z_2=2+\sqrt{7}.\]61:Tb9d,Рассмотрим квадратичную форму $Q(x,y)=4x^2-2xy+7y^2$. Её матрица $\begin{pmatrix}4&-1\\-1&7\end{pmatrix}$ имеет положительный определитель $27>0$ и положительный след, поэтому форма положительно определена: множество $Q\leqslant 1$ — это замкнутый эллиптический «диск» с центром в начале координат. Сделаем сдвиг в предполагаемую точку касания. Положим \[X=x-\tfrac{1}{6},\qquad Y=y+\tfrac{1}{3}.\] Прямая преобразуется так: \[2x-5y-2=2X-5Y,\] а квадратичная форма даёт \[Q(x,y)-1=4X^2-2XY+7Y^2+(2X-5Y).\] Тогда исходная система равносильна системе относительно $X,Y$: \[\begin{cases}\bigl(4X^2-2XY+7Y^2\bigr)+(2X-5Y)\leqslant 0,\\ 2X-5Y\geqslant 0.\end{cases}\] Обозначим $H=4X^2-2XY+7Y^2$ и $u=2X-5Y$. Форма $H$ положительно определена (тот же определитель $27>0$), поэтому $H\geqslant 0$, причём $H=0$ только при $X=Y=0$. Из второго неравенства $u\geqslant 0$. Значит, \[Q-1=H+u\geqslant 0,\] то есть $Q\geqslant 1$ на всей допустимой полуплоскости. Но первое неравенство требует $Q-1=H+u\leqslant 0$. Сочетание $H+u\geqslant 0$ и $H+u\leqslant 0$ даёт $H+u=0$. Поскольку оба слагаемых неотрицательны, отсюда $H=0$ и $u=0$. Из $H=0$ (положительная определённость) следует $X=0,\ Y=0$. Возвращаясь к исходным переменным: \[x=\tfrac{1}{6},\qquad y=-\tfrac{1}{3}.\] Геометрически это означает, что прямая $2x-5y=2$ касается эллипса $Q=1$, а допустимая полуплоскость $2x-5y\geqslant 2$ лежит со стороны, противоположной центру эллипса; поэтому пересечение области $Q\leqslant 1$ с этой полуплоскостью состоит ровно из одной точки касания. Проверка краёв/посторонних решений: оба неравенства нестрогие, точка $(\tfrac16,-\tfrac13)$ обращает оба в равенство ($Q=1$, $2x-5y=2$), поэтому входит в ответ; других точек нет, так как любое отклонение от неё делает $H>0$ или $u>0$, нарушая первое неравенство. ОДЗ всюду — вся плоскость, ограничений нет. \[\boxed{\ x=\tfrac{1}{6},\quad y=-\tfrac{1}{3}.\ }\]41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"ДВИ МГУ 2011 — вариант 3\",\"description\":\"Коллекция \\\"ДВИ МГУ 2011 — вариант 3\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 8 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/dvi-math-2011-v3\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T05:20:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"ДВИ МГУ 2011 — вариант 3\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ 2011 — вариант 3-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"ДВИ МГУ 2011 — вариант 3"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"dvi-math-2011-v3","serverCollection":{"id":"39b5063d-5b58-49c3-9876-5b20afd50570","name":"ДВИ МГУ 2011 — вариант 3","code":"dvi-math-2011-v3","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"hidden_problem_count":0,"solved_count":0,"source":"ЦПК МГУ / мехмат","source_url":"https://cpk.msu.ru/entrance/files/2011/math.20110717.3.pdf","total_problem_count":8,"variant_batch":"dvi-2011-2019-v1","variant_label":"ВАРИАНТ 113 (17 июля 2011)","visible_problem_count":8,"year":2011},"created_at":"2026-06-10T05:20:00Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:46.488821Z","problem_count":8,"visible_count":8,"total_count":8,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"f52e0892-fbdb-4f6f-b5c2-65670d1be05f","collection_id":"39b5063d-5b58-49c3-9876-5b20afd50570","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"f52e0892-fbdb-4f6f-b5c2-65670d1be05f","short_id":17762,"task_number":14,"topic_id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":2,"content_text":"Вычислите значение функции \$0{,}125\\,x^2-\\dfrac{1}{3}\\,x+\\dfrac{1}{9}\$ в точке \$x=\\dfrac{1}{2}\$.","answer_text":"\$-\\dfrac{7}{288}\$","answer":"\$-\\dfrac{7}{288}\$","solution_text":"Подставим \$x=\\dfrac{1}{2}\$ в выражение \$0{,}125\\,x^2-\\dfrac{1}{3}\\,x+\\dfrac{1}{9}\$. Заметим, что \$0{,}125=\\dfrac{1}{8}\$, поэтому функция равна \$\\dfrac{1}{8}x^2-\\dfrac{1}{3}x+\\dfrac{1}{9}\$.\n\nВычислим каждое слагаемое в точке \$x=\\dfrac{1}{2}\$:\n\\[\\frac{1}{8}\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2=\\frac{1}{8}\\cdot\\frac{1}{4}=\\frac{1}{32},\\qquad -\\frac{1}{3}\\cdot\\frac{1}{2}=-\\frac{1}{6},\\qquad \\frac{1}{9}.\\]\n\nПриведём к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел \$32\$, \$6\$ и \$9\$ равно \$288\$ (так как \$32=2^5\$, \$6=2\\cdot 3\$, \$9=3^2\$, а \$\\mathrm{НОК}=2^5\\cdot 3^2=288\$). Тогда\n\\[\\frac{1}{32}=\\frac{9}{288},\\qquad \\frac{1}{6}=\\frac{48}{288},\\qquad \\frac{1}{9}=\\frac{32}{288}.\\]\n\nСледовательно,\n\\[\\frac{1}{32}-\\frac{1}{6}+\\frac{1}{9}=\\frac{9-48+32}{288}=\\frac{-7}{288}=-\\frac{7}{288}.\\]\n\nОДЗ здесь тривиальна: многочлен определён при всех вещественных \$x\$, посторонних корней или краёв нет. Искомое значение равно \$-\\dfrac{7}{288}\$.","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":1,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 113 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v3","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","name":"Вычисления и оценки","description":null},"tags":[{"id":"161ce81e-7848-4a50-990d-f97dfcbb50aa","code":"tag-22","name":"Преобразования выражений, включающих арифметические операции"},{"id":"a2b4e925-7b33-4fc8-aeb6-0a8f03dd4256","code":"tag-147","name":"Дроби, проценты, рациональные числа"}]}},{"problem_id":"67bbc903-f2db-41d9-a705-bda552fbe5df","collection_id":"39b5063d-5b58-49c3-9876-5b20afd50570","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"67bbc903-f2db-41d9-a705-bda552fbe5df","short_id":17763,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":3,"content_text":"Решите уравнение \$(\\cos x-\\sin x)^2=1\$.","answer_text":"\$x = \\dfrac{\\pi n}{2},\\ n \\in \\mathbb{Z}\$","answer":"\$x = \\dfrac{\\pi n}{2},\\ n \\in \\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":2,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 113 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v3","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"3d67eb82-f5d0-40c6-936f-4730c9e5b2a7","code":"tag-57","name":"Основные тригонометрические тождества"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"9f2c32f9-1c81-45d4-bfd9-70a4620bebf8","code":"tag-142","name":"Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители"}]}},{"problem_id":"b9568aa9-55d8-4dcb-bda7-d872d2aedff5","collection_id":"39b5063d-5b58-49c3-9876-5b20afd50570","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"b9568aa9-55d8-4dcb-bda7-d872d2aedff5","short_id":17764,"task_number":17,"topic_id":"57c71533-3578-44db-89b2-cbb8140c30a6","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":4,"content_text":"Решите уравнение\n\\[\\log_2(1-3x)=\\log_4(5x-1).\\]","answer_text":"\$x = 2/9\$","answer":"\$x = 2/9\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":3,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 113 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v3","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"57c71533-3578-44db-89b2-cbb8140c30a6","name":"Логарифмические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"728bc58c-1ce7-411d-8367-ebc8e9dfd104","code":"tag-106","name":"Квадратные уравнения"},{"id":"c8cd9c24-fac7-48ab-b79b-6c5fbd73b985","code":"tag-189","name":"Логарифмические уравнения"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"}]}},{"problem_id":"4ed93251-2ed9-4868-8fbb-cd6938cf8d09","collection_id":"39b5063d-5b58-49c3-9876-5b20afd50570","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"4ed93251-2ed9-4868-8fbb-cd6938cf8d09","short_id":17765,"task_number":16,"topic_id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решите неравенство\n\\[\\frac{\\sqrt{4x-2}-1}{\\sqrt{3x-1}-1}>1.\\]","answer_text":"\$x \\in \\left[\\dfrac{1}{2};\\dfrac{2}{3}\\right)\\cup(1;+\\infty)\$","answer":"\$x \\in \\left[\\dfrac{1}{2};\\dfrac{2}{3}\\right)\\cup(1;+\\infty)\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":4,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 113 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v3","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","name":"Иррациональные неравенства","description":null},"tags":[{"id":"2c55495d-5b54-461b-8a9b-3567966b9d28","code":"tag-40","name":"Метод интервалов"},{"id":"326a65ae-efb0-4ca3-b01b-d170bc5caf10","code":"tag-46","name":"Иррациональные неравенства"},{"id":"97a61ebf-fada-488c-8940-7a5b929b6743","code":"tag-134","name":"Область определения неравенства"}]}},{"problem_id":"11f67797-de51-4977-b16d-88958253f4ca","collection_id":"39b5063d-5b58-49c3-9876-5b20afd50570","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"11f67797-de51-4977-b16d-88958253f4ca","short_id":17766,"task_number":18,"topic_id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Медианы \$KC\$ и \$LD\$ треугольника \$KLM\$ пересекаются в точке \$E\$. Найдите длину отрезка \$EM\$, если \$KL=3\$ и известно, что вокруг четырёхугольника \$ECMD\$ можно описать окружность.","answer_text":"\$EM = \\sqrt{3}\$","answer":"\$EM = \\sqrt{3}\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":5,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 113 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v3","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","name":"Треугольники","description":null},"tags":[{"id":"571cbc3f-ec88-4837-b0f7-266854acd8f6","code":"tag-81","name":"Окружность, описанная вокруг четырехугольника"},{"id":"720324ca-61cd-4043-8f06-78f5c54c5067","code":"tag-105","name":"Координаты вектора, скалярное произведение векторов, угол между векторами"},{"id":"a42676d8-721d-416b-9509-d365704bb645","code":"tag-151","name":"Треугольник"}]}},{"problem_id":"22b629b2-8c18-4dd1-b0cb-9757d65621c8","collection_id":"39b5063d-5b58-49c3-9876-5b20afd50570","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"22b629b2-8c18-4dd1-b0cb-9757d65621c8","short_id":17767,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Найдите наибольшее из значений функции\n\\[\\frac{4^x}{2\\cdot 5^{2x}-10^x+4^x}\\]\nи точку \$x\$, в которой это значение достигается.","answer_text":"наибольшее значение \$\\frac{8}{7}\$ достигается при \$x=\\log_{2/5}4=-\\log_{5/2}4\$","answer":"наибольшее значение \$\\frac{8}{7}\$ достигается при \$x=\\log_{2/5}4=-\\log_{5/2}4\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":6,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 113 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v3","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"164a5062-f1e8-49cd-ad14-ee6f3e291522","code":"tag-23","name":"Уравнения рациональные относительно показательных функций"},{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"e007efe4-fb15-42f2-b085-578c49c5651c","code":"tag-214","name":"Показательные уравнения"}]}},{"problem_id":"6bf08f9d-f925-4b72-806d-602380b2a734","collection_id":"39b5063d-5b58-49c3-9876-5b20afd50570","display_order":7,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"6bf08f9d-f925-4b72-806d-602380b2a734","short_id":17768,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"В закрытой коробке, имеющей форму куба со стороной 8, лежат два шара. Радиус первого из них равен 2. Он касается плоскости основания и двух соседних боковых граней куба. Второй шар радиуса 3 касается двух других боковых граней куба и первого шара. На какой высоте над дном коробки находится центр второго шара?","answer_text":"\$2+\\sqrt{7}\$","answer":"\$2+\\sqrt{7}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":7,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 113 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v3","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"a10bcfea-9448-4bdb-b69b-2dc377bcf4de","code":"tag-144","name":"Куб"},{"id":"b08fa4e2-4af6-40f5-ad34-408bf3068be7","code":"tag-165","name":"Шар"},{"id":"d32e29f3-03cd-4611-a30a-5cd040c54cdd","code":"tag-198","name":"Координаты на прямой, декартовы координаты на плоскости и в пространстве"}]}},{"problem_id":"2692c79d-936d-4cac-a3a9-1d0674b7e378","collection_id":"39b5063d-5b58-49c3-9876-5b20afd50570","display_order":8,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"2692c79d-936d-4cac-a3a9-1d0674b7e378","short_id":17769,"task_number":19,"topic_id":"000fc2fd-c5a2-455f-aa01-620d43e2e4ea","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Решите систему неравенств\n\\[\\begin{cases}4x^2-2xy+7y^2\\leqslant 1,\\\\ 2x-5y\\geqslant 2.\\end{cases}\\]","answer_text":"\$x = \\dfrac{1}{6},\\ y = -\\dfrac{1}{3}\$","answer":"\$x = \\dfrac{1}{6},\\ y = -\\dfrac{1}{3}\$","solution_text":"$61","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":8,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 113 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v3","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"000fc2fd-c5a2-455f-aa01-620d43e2e4ea","name":"Нестандартная алгебра","description":null},"tags":[{"id":"378ecccb-5211-4448-b874-8f22ba33c931","code":"tag-50","name":"Квадратные неравенства"},{"id":"bdc218ab-0917-4a7d-9ebf-df1a98e2ace6","code":"tag-180","name":"Системы неравенств"},{"id":"d32e29f3-03cd-4611-a30a-5cd040c54cdd","code":"tag-198","name":"Координаты на прямой, декартовы координаты на плоскости и в пространстве"}]}}],"total":8},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ