Решите систему неравенств cases4x^2-2xy+7y^2 1, 2x-5y 2.cases

Рассмотрим квадратичную форму Q(x,y)=4x^2-2xy+7y^2. Её матрица pmatrix4&-1-1&7pmatrix имеет положительный определитель 27>0 и положительный след, поэтому форма положительно определена: множество Q 1 — это замкнутый эллиптический «диск» с центром в начале координат. Сделаем сдвиг в предполагаемую точку касания. Положим X=x-(1)/(6), Y=y+(1)/(3). Прямая преобразуется так: 2x-5y-2=2X-5Y, а квадратичная форма даёт Q(x,y)-1=4X^2-2XY+7Y^2+(2X-5Y). Тогда исходная система равносильна системе относительно X,Y: cases(4X^2-2XY+7Y^2)+(2X-5Y) 0,[2pt] 2X-5Y 0.cases Обозначим H=4X^2-2XY+7Y^2 и u=2X-5Y. Форма H положительно определена (тот же определитель 27>0), поэтому H 0, причём H=0 только при X=Y=0. Из второго неравенства u 0. Значит, Q-1=H+u 0, то есть Q 1 на всей допустимой полуплоскости. Но первое неравенство требует Q-1=H+u 0. Сочетание H+u 0 и H+u 0 даёт H+u=0. Поскольку оба слагаемых неотрицательны, отсюда H=0 и u=0. Из H=0 (положительная определённость) следует X=0, Y=0. Возвращаясь к исходным переменным: x=(1)/(6), y=-(1)/(3). Геометрически это означает, что прямая 2x-5y=2 касается эллипса Q=1, а допустимая полуплоскость 2x-5y 2 лежит со стороны, противоположной центру эллипса; поэтому пересечение области Q 1 с этой полуплоскостью состоит ровно из одной точки касания. Проверка краёв/посторонних решений: оба неравенства нестрогие, точка (16,-13) обращает оба в равенство (Q=1, 2x-5y=2), поэтому входит в ответ; других точек нет, так как любое отклонение от неё делает H>0 или u>0, нарушая первое неравенство. ОДЗ всюду — вся плоскость, ограничений нет. x=(1)/(6), y=-(1)/(3).

x = \dfrac{1}{6},\ y = -\dfrac{1}{3}