Задача №17769

Решите систему неравенств

$$\{\begin{array}{l}4x^2-2xy+7y^2⩽1,\\ 2x-5y⩾2.\end{array}$$

Рассмотрим квадратичную форму $Q(x,y)=4x^2-2xy+7y^2\text{.}$ Её матрица $\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -1& 7\end{array}\right)$ имеет положительный определитель $27>0$ и положительный след, поэтому форма положительно определена: множество $Q⩽1$ — это замкнутый эллиптический «диск» с центром в начале координат.

Сделаем сдвиг в предполагаемую точку касания. Положим

$$X=x-\frac{1}{6},Y=y+\frac{1}{3}.$$

Прямая преобразуется так:

$$2x-5y-2=2X-5Y,$$

а квадратичная форма даёт

$$Q(x,y)-1=4X^2-2XY+7Y^2+(2X-5Y).$$

Тогда исходная система равносильна системе относительно $X,Y\text{:}$

$$\{\begin{array}{l}(4X^2-2XY+7Y^2)+(2X-5Y)⩽0,\\ 2X-5Y⩾0.\end{array}$$

Обозначим $H=4X^2-2XY+7Y^2$ и $u=2X-5Y\text{.}$ Форма $H$ положительно определена (тот же определитель $27>0$), поэтому $H⩾0\text{,}$ причём $H=0$ только при $X=Y=0\text{.}$ Из второго неравенства $u⩾0\text{.}$ Значит,

$$Q-1=H+u⩾0,$$

то есть $Q⩾1$ на всей допустимой полуплоскости. Но первое неравенство требует $Q-1=H+u⩽0\text{.}$ Сочетание $H+u⩾0$ и $H+u⩽0$ даёт $H+u=0\text{.}$ Поскольку оба слагаемых неотрицательны, отсюда $H=0$ и $u=0\text{.}$ Из $H=0$ (положительная определённость) следует $X=0,Y=0\text{.}$

Возвращаясь к исходным переменным:

$$x=\frac{1}{6},y=-\frac{1}{3}.$$

Геометрически это означает, что прямая $2x-5y=2$ касается эллипса $Q=1\text{,}$ а допустимая полуплоскость $2x-5y⩾2$ лежит со стороны, противоположной центру эллипса; поэтому пересечение области $Q⩽1$ с этой полуплоскостью состоит ровно из одной точки касания.

Проверка краёв/посторонних решений: оба неравенства нестрогие, точка $(\frac{1}{6},-\frac{1}{3})$ обращает оба в равенство ($Q=1\text{,}$ $2x-5y=2$), поэтому входит в ответ; других точек нет, так как любое отклонение от неё делает $H>0$ или $u>0\text{,}$ нарушая первое неравенство. ОДЗ всюду — вся плоскость, ограничений нет.

$$\boxed{x=\frac{1}{6},y=-\frac{1}{3}.}$$