Медианы KC и LD треугольника KLM пересекаются в точке E. Найдите длину отрезка EM, если KL=3 и известно, что вокруг четырёхугольника ECMD можно описать окружность.

Точки C и D — середины сторон LM и KM соответственно (медианы KC и LD проведены из вершин K и L к серединам противоположных сторон), а E — точка пересечения медиан, то есть центроид треугольника KLM. Поместим начало координат в вершину M и обозначим u=MK, v=ML. Тогда MD=12u, MC=12v, ME=13(u+v). Заметим, что D лежит на луче MK, а C — на луче ML; таким образом, прямые MD и MC — это в точности прямые MK и ML. Для окружности, описанной около четырёхугольника ECMD, точка M — пересечение хорд MD (на прямой MK) и MC (на прямой ML). Запишем условие принадлежности четырёх точек E,C,M,D одной окружности через определитель x^2+y^2 & x & y & 1pmatrix|_(E,C,M,D)=0. После раскрытия (при M в начале координат) этот определитель разлагается на множители -(1)/(72)[u,v]*(|u|^2+|v|^2-4(u*v)), где [u,v]=u_xv_y-u_yv_x — удвоенная ориентированная площадь треугольника. Для невырожденного треугольника [u,v]!= 0, поэтому условие вписанности ECMD равносильно соотношению |u|^2+|v|^2=4(u*v). () Используем данные. По условию KL^2=|u-v|^2=|u|^2+|v|^2-2(u*v)=9. Из () имеем u*v=14(|u|^2+|v|^2). Подставляя, получаем |u|^2+|v|^2-12(|u|^2+|v|^2)=9 |u|^2+|v|^2=18, u*v=(18)/(4)=92. Теперь найдём искомую длину: EM^2=|ME|^2=19|u+v|^2=19(|u|^2+|v|^2+2(u*v))=19(18+2*92)=(27)/(9)=3. Следовательно, EM=sqrt(3). Корректность (проверка края/невырожденности): условие () даёт целое семейство треугольников (для любых |u|^2,|v|^2 с суммой 18 и u*v=9/2 при |u*v|<|u||v|, что выполняется), и во всех таких треугольниках EM=sqrt(3) одинаково; вырожденные конфигурации ([u,v]=0) исключены, так как тогда треугольника и окружности нет. Посторонних решений нет: множитель [u,v] к ответу не приводит. Ответ: EM=sqrt(3).

EM = \sqrt{3}