Задача №17766

Медианы $KC$ и $LD$ треугольника $KLM$ пересекаются в точке $E\text{.}$ Найдите длину отрезка $EM\text{,}$ если $KL=3$ и известно, что вокруг четырёхугольника $ECMD$ можно описать окружность.

Точки $C$ и $D$ — середины сторон $LM$ и $KM$ соответственно (медианы $KC$ и $LD$ проведены из вершин $K$ и $L$ к серединам противоположных сторон), а $E$ — точка пересечения медиан, то есть центроид треугольника $KLM\text{.}$

Поместим начало координат в вершину $M$ и обозначим $\vec{u}=\overrightarrow{MK}\text{,}$ $\vec{v}=\overrightarrow{ML}\text{.}$ Тогда

Заметим, что $D$ лежит на луче $MK\text{,}$ а $C$ — на луче $ML\text{;}$ таким образом, прямые $MD$ и $MC$ — это в точности прямые $MK$ и $ML\text{.}$

Для окружности, описанной около четырёхугольника $ECMD\text{,}$ точка $M$ — пересечение хорд $MD$ (на прямой $MK$) и $MC$ (на прямой $ML$). Запишем условие принадлежности четырёх точек $E,C,M,D$ одной окружности через определитель

После раскрытия (при $M$ в начале координат) этот определитель разлагается на множители

где $[\vec{u},\vec{v}]=u_x{v}_y-u_y{v}_x$ — удвоенная ориентированная площадь треугольника. Для невырожденного треугольника $[\vec{u},\vec{v}]\ne 0\text{,}$ поэтому условие вписанности $ECMD$ равносильно соотношению

Используем данные. По условию

Из $(\ast )$ имеем $\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{1}{4}(|\vec{u}{|}^2+|\vec{v}{|}^2)\text{.}$ Подставляя, получаем

Теперь найдём искомую длину:

Следовательно, $EM=\sqrt{3}\text{.}$

Корректность (проверка края/невырожденности): условие $(\ast )$ даёт целое семейство треугольников (для любых $|\vec{u}{|}^2,|\vec{v}{|}^2$ с суммой $18$ и $\vec{u}\cdot \vec{v}=9/2$ при $|\vec{u}\cdot \vec{v}|<|\vec{u}||\vec{v}|\text{,}$ что выполняется), и во всех таких треугольниках $EM=\sqrt{3}$ одинаково; вырожденные конфигурации ($[\vec{u},\vec{v}]=0$) исключены, так как тогда треугольника и окружности нет. Посторонних решений нет: множитель $[\vec{u},\vec{v}]$ к ответу не приводит. Ответ: $EM=\sqrt{3}\text{.}$