Задача №17763

Решите уравнение $(\cos x-\sin x{)}^2=1\text{.}$

Раскроем квадрат разности и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. Имеем

где применена формула двойного угла $2\sin x\cos x=\sin 2x\text{.}$

Уравнение определено при всех $x\in \mathbb{R}$ (никаких ограничений области определения нет), поэтому исходное уравнение равносильно цепочке

Уравнение $\sin 2x=0$ равносильно условию $2x=\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{,}$ откуда

Все полученные значения являются решениями (преобразование было равносильным, домножения на возможный нуль и возведения в степень, способного добавить посторонние корни, не производилось), потерянных и посторонних корней нет. В частности, в этих точках $\cos x-\sin x=\pm 1\text{,}$ и квадрат действительно равен $1\text{:}$ при чётных $n$ (то есть $x=\pi k$) получается $\cos x-\sin x=\pm 1$ за счёт обращения синуса в нуль, а при нечётных $n$ (то есть $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$) — за счёт обращения в нуль косинуса.

Ответ: $x=\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}.$