Задача №17768

В закрытой коробке, имеющей форму куба со стороной 8, лежат два шара. Радиус первого из них равен 2. Он касается плоскости основания и двух соседних боковых граней куба. Второй шар радиуса 3 касается двух других боковых граней куба и первого шара. На какой высоте над дном коробки находится центр второго шара?

Введём прямоугольную систему координат, поместив начало в одну из вершин куба и направив оси $Ox\text{,}$ $Oy\text{,}$ $Oz$ вдоль трёх рёбер, выходящих из этой вершины. Тогда дно коробки — это плоскость $z=0\text{,}$ а сам куб задаётся неравенствами $0⩽x⩽8\text{,}$ $0⩽y⩽8\text{,}$ $0⩽z⩽8\text{.}$ Высота центра шара над дном — это его координата $z\text{.}$

Центр первого шара. Шар радиуса $r_1=2$ касается дна $z=0$ и двух соседних боковых граней. Возьмём в качестве этих граней $x=0$ и $y=0\text{.}$ Центр шара отстоит от каждой касательной плоскости на расстояние, равное радиусу, поэтому

(Касание дна даёт $z=2\text{,}$ касание граней $x=0$ и $y=0$ даёт $x=2\text{,}$ $y=2\text{.}$)

Центр второго шара. Шар радиуса $r_2=3$ касается двух других боковых граней. Поскольку первый шар «занял» грани $x=0$ и $y=0\text{,}$ двумя другими боковыми гранями являются противоположные им $x=8$ и $y=8\text{.}$ Расстояние от центра до каждой из этих плоскостей равно радиусу $3\text{,}$ поэтому

Высоту $z_2$ центра пока считаем неизвестной, так что $O_2=(5,5,z_2)\text{,}$ причём по смыслу задачи $z_2>0\text{.}$

Условие касания шаров. Шары касаются внешним образом, поэтому расстояние между их центрами равно сумме радиусов:

Запишем это через координаты:

Отсюда

Отбор корня. Так как $\sqrt{7}\approx 2,65\text{,}$ второй корень $z_2=2-\sqrt{7}\approx -0,65<0$ даёт центр ниже дна коробки и невозможен (тогда нижняя точка шара $z_2-r_2\approx -3,65$ оказалась бы далеко под дном). Поэтому остаётся

Проверка совместности конфигурации. Убедимся, что при $z_2=2+\sqrt{7}$ второй шар целиком помещается в коробке и касания не противоречат друг другу.

• По осям $x$ и $y\text{:}$ центр имеет координаты $5\text{,}$ радиус $3\text{,}$ значит шар касается граней $x=8$ и $y=8$ и не выходит за грани $x=0\text{,}$ $y=0$ (так как $5⩾3$).

• Снизу: $z_2-r_2=2+\sqrt{7}-3=\sqrt{7}-1\approx 1,65>0$ — шар не протыкает дно.

• Сверху: $z_2+r_2=5+\sqrt{7}\approx 7,65⩽8$ — шар не протыкает крышку.

Первый шар с центром $(2,2,2)$ и радиусом $2$ также целиком лежит в кубе. Расстояние между центрами равно ровно $5=r_1+r_2\text{,}$ то есть шары касаются внешним образом и не пересекаются. Все условия задачи выполнены.

Таким образом, центр второго шара находится над дном коробки на высоте