Задача №17764

Решите уравнение

$${\log }_2(1-3x)={\log }_4(5x-1).$$

Найдём ОДЗ. Подлогарифмические выражения должны быть положительны:

$$\{\begin{array}{l}1-3x>0,\\ 5x-1>0.\end{array}$$

Из первого неравенства $x<\frac{1}{3}\text{,}$ из второго $x>\frac{1}{5}\text{.}$ Значит, $x\in \left(\frac{1}{5};\frac{1}{3}\right)\text{.}$

Приведём логарифмы к одному основанию. Так как ${\log }_{4}t=\frac{1}{2}{\log }_{2}t\text{,}$ уравнение принимает вид

$${\log }_2(1-3x)=\frac{1}{2}{\log }_2(5x-1).$$

Умножим обе части на $2\text{:}$

$$2{\log }_2(1-3x)={\log }_2(5x-1),{\log }_2(1-3x{)}^2={\log }_2(5x-1).$$

Отсюда

$$(1-3x{)}^2=5x-1.$$

Раскроем скобки:

$$1-6x+9x^2=5x-1,9x^2-11x+2=0.$$

Дискриминант $D=(-11{)}^2-4\cdot 9\cdot 2=121-72=49\text{,}$ поэтому

$$x=\frac{11\pm 7}{18},x_1=1,x_2=\frac{2}{9}.$$

Отбор корней. Корень $x_1=1$ не входит в ОДЗ: при нём $1-3\cdot 1=-2<0\text{.}$ Корень $x_2=\frac{2}{9}$ принадлежит промежутку $\left(\frac{1}{5};\frac{1}{3}\right)\text{.}$

Проверка. При $x=\frac{2}{9}$ имеем $1-3x=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ и $5x-1=\frac{10}{9}-1=\frac{1}{9}\text{.}$ Тогда

$${\log }_2\frac{1}{3}=-{\log }_{2}3,{\log }_4\frac{1}{9}=\frac{1}{2}{\log }_2\frac{1}{9}=\frac{1}{2}\cdot (-2{\log }_{2}3)=-{\log }_{2}3.$$

Обе части равны, равенство выполнено.

Ответ: $x=\frac{2}{9}\text{.}$