Найдите наибольшее из значений функции (4^x)/(2* 5^(2x)-10^x+4^x) и точку x, в которой это значение достигается.

Область определения. Числитель 4^x>0 при всех x. Разделим числитель и знаменатель на 4^x и введём замену t=((5)/(2))^x=(5^x)/(2^x)>0. Так как (5^(2x))/(4^x)=((25)/(4))^x=t^2 и (10^x)/(4^x)=((5)/(2))^x=t, получаем (4^x)/(2* 5^(2x)-10^x+4^x)=(1)/(2t^2-t+1). Знаменатель g(t)=2t^2-t+1 имеет дискриминант D=1-8=-7<0 и положительный старший коэффициент, поэтому g(t)>0 при всех t (в частности, при t>0). Значит, исходная функция определена при всех действительных x и положительна. Поиск наибольшего значения. Дробь (1)/(g(t)) с положительным g(t) наибольшая там, где g(t) наименьшее. Парабола g(t)=2t^2-t+1 достигает минимума в вершине t_0=(1)/(2* 2)=(1)/(4)>0, причём t_0>0 — значение допустимо (t>0 при всех x, и t пробегает весь интервал (0,+inf), так что t=14 достижимо). Тогда g(14)=2*(1)/(16)-(1)/(4)+1=(1)/(8)-(1)/(4)+1=(7)/(8), и наибольшее значение функции равно (1)/(g(t_0))=(1)/(7/8)=(8)/(7). Точка максимума. Условие t=14 даёт ((5)/(2))^x=14, откуда x=_(5/2)(1)/(4)=-_(5/2)4=_(2/5)4=-(2ln 2)/(ln 5-ln 2)~-1,513. Таким образом, наибольшее значение функции равно (8)/(7) и достигается в единственной точке x=_(2/5)4=-_(5/2)4.

наибольшее значение \frac{8}{7} достигается при x=\log_{2/5}4=-\log_{5/2}4