Задача №17767

Найдите наибольшее из значений функции

$$\frac{4^x}{2\cdot 5^{2x}-10^x+4^x}$$

и точку $x\text{,}$ в которой это значение достигается.

Область определения. Числитель $4^x>0$ при всех $x\text{.}$ Разделим числитель и знаменатель на $4^x$ и введём замену $t={\left(\frac{5}{2}\right)}^x=\frac{5^x}{2^x}>0\text{.}$ Так как $\frac{5^{2x}}{4^x}={\left(\frac{25}{4}\right)}^x=t^2$ и $\frac{10^x}{4^x}={\left(\frac{5}{2}\right)}^x=t\text{,}$ получаем

$$\frac{4^x}{2\cdot 5^{2x}-10^x+4^x}=\frac{1}{2t^2-t+1}.$$

Знаменатель $g(t)=2t^2-t+1$ имеет дискриминант $D=1-8=-7<0$ и положительный старший коэффициент, поэтому $g(t)>0$ при всех $t$ (в частности, при $t>0$). Значит, исходная функция определена при всех действительных $x$ и положительна.

Поиск наибольшего значения. Дробь $\frac{1}{g(t)}$ с положительным $g(t)$ наибольшая там, где $g(t)$ наименьшее. Парабола $g(t)=2t^2-t+1$ достигает минимума в вершине

$$t_0=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}>0,$$

причём $t_0>0$ — значение допустимо ($t>0$ при всех $x\text{,}$ и $t$ пробегает весь интервал $(0,+\infty )\text{,}$ так что $t=\frac{1}{4}$ достижимо). Тогда

$$g\left(\frac{1}{4}\right)=2\cdot \frac{1}{16}-\frac{1}{4}+1=\frac{1}{8}-\frac{1}{4}+1=\frac{7}{8},$$

и наибольшее значение функции равно

$$\frac{1}{g(t_0)}=\frac{1}{7/8}=\frac{8}{7}.$$

Точка максимума. Условие $t=\frac{1}{4}$ даёт ${\left(\frac{5}{2}\right)}^x=\frac{1}{4}\text{,}$ откуда

$$x={\log }_{5/2}\frac{1}{4}=-{\log }_{5/2}4={\log }_{2/5}4=-\frac{2\ln 2}{\ln 5-\ln 2}\approx -1,513.$$

Таким образом, наибольшее значение функции равно $\frac{8}{7}$ и достигается в единственной точке $x={\log }_{2/5}4=-{\log }_{5/2}4\text{.}$