Решите неравенство (sqrt(4x-2)-1)/(sqrt(3x-1)-1)>1.

Решаем неравенство (sqrt(4x-2)-1)/(sqrt(3x-1)-1)>1. ОДЗ. Подкоренные выражения неотрицательны: 4x-2>= 0=> x>=12 и 3x-1>= 0=> x>=13. Связывающим является условие x>=12. Кроме того, знаменатель не равен нулю: sqrt(3x-1)-1!= 0=> 3x-1!= 1=> x!=23. Итого область определения: xin[12;23)U(23;+inf). Сведение к знаку дроби. Переносим единицу влево и приводим к общему знаменателю: (sqrt(4x-2)-1)/(sqrt(3x-1)-1)-1>0 ((sqrt(4x-2)-1)-(sqrt(3x-1)-1))/(sqrt(3x-1)-1)>0, (sqrt(4x-2)-sqrt(3x-1))/(sqrt(3x-1)-1)>0. Это равносильное преобразование (мы не домножали на знаменатель, чтобы не потерять знак; именно здесь лежит ловушка задачи — знаменатель может быть отрицательным). Знак числителя N(x)=sqrt(4x-2)-sqrt(3x-1). Так как обе функции под корнями неотрицательны, знак N(x) совпадает со знаком разности подкоренных выражений: (4x-2)-(3x-1)=x-1. Значит N(x)<0 при x<1, N(1)=0, N(x)>0 при x>1. Знак знаменателя D(x)=sqrt(3x-1)-1. Имеем D(x)=0 при x=23; D(x)<0 при x<23 и D(x)>0 при x>23 (функция sqrt(3x-1) возрастает). Дробь положительна там, где числитель и знаменатель одного знака: itemize Оба отрицательны: N<0 (т.е. x<1) и D<0 (т.е. x<23). С учётом ОДЗ x>=12 получаем 12<= x<23. Оба положительны: N>0 (т.е. x>1) и D>0 (т.е. x>23). Пересечение: x>1. itemize Проверка краёв и особых точек. itemize x=12: дробь равна (sqrt(0)-1)/(sqrt(1/2)-1)=(-1)/((2)/(2)-1)=2+2~3,41>1 — входит. x=23: знаменатель sqrt(1)-1=0 — точка исключена. x=1: дробь равна (2-1)/(2-1)=1, а нужно строго больше — точка исключена. Посторонних корней нет. itemize Ответ: xin[12;23)U(1;+inf).

x \in \left[\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{3}\right)\cup(1;+\infty)