Задача №17765

Решите неравенство

$$\frac{\sqrt{4x-2}-1}{\sqrt{3x-1}-1}>1.$$

Решаем неравенство

$$\frac{\sqrt{4x-2}-1}{\sqrt{3x-1}-1}>1.$$

ОДЗ. Подкоренные выражения неотрицательны: $4x-2\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{1}{2}$ и $3x-1\ge 0\Rightarrow x\ge \frac{1}{3}\text{.}$ Связывающим является условие $x\ge \frac{1}{2}\text{.}$ Кроме того, знаменатель не равен нулю: $\sqrt{3x-1}-1\ne 0\Rightarrow 3x-1\ne 1\Rightarrow x\ne \frac{2}{3}\text{.}$ Итого область определения: $x\in \left[\frac{1}{2};\frac{2}{3}\right)\cup \left(\frac{2}{3};+\infty \right)\text{.}$

Сведение к знаку дроби. Переносим единицу влево и приводим к общему знаменателю:

$$\frac{\sqrt{4x-2}-1}{\sqrt{3x-1}-1}-1>0⟺\frac{(\sqrt{4x-2}-1)-(\sqrt{3x-1}-1)}{\sqrt{3x-1}-1}>0,$$ $$\frac{\sqrt{4x-2}-\sqrt{3x-1}}{\sqrt{3x-1}-1}>0.$$

Это равносильное преобразование (мы не домножали на знаменатель, чтобы не потерять знак; именно здесь лежит ловушка задачи — знаменатель может быть отрицательным).

Знак числителя $N(x)=\sqrt{4x-2}-\sqrt{3x-1}\text{.}$ Так как обе функции под корнями неотрицательны, знак $N(x)$ совпадает со знаком разности подкоренных выражений: $(4x-2)-(3x-1)=x-1\text{.}$ Значит $N(x)<0$ при $x<1\text{,}$ $N(1)=0\text{,}$ $N(x)>0$ при $x>1\text{.}$

Знак знаменателя $D(x)=\sqrt{3x-1}-1\text{.}$ Имеем $D(x)=0$ при $x=\frac{2}{3}\text{;}$ $D(x)<0$ при $x<\frac{2}{3}$ и $D(x)>0$ при $x>\frac{2}{3}$ (функция $\sqrt{3x-1}$ возрастает).

Дробь положительна там, где числитель и знаменатель одного знака:

• Оба отрицательны: $N<0$ (т.е. $x<1$) и $D<0$ (т.е. $x<\frac{2}{3}$). С учётом ОДЗ $x\ge \frac{1}{2}$ получаем $\frac{1}{2}\le x<\frac{2}{3}\text{.}$
• Оба положительны: $N>0$ (т.е. $x>1$) и $D>0$ (т.е. $x>\frac{2}{3}$). Пересечение: $x>1\text{.}$

Проверка краёв и особых точек.

• $x=\frac{1}{2}\text{:}$ дробь равна $\frac{\sqrt{0}-1}{\sqrt{1/2}-1}=\frac{-1}{\frac{\sqrt{2}}{2}-1}=2+\sqrt{2}\approx 3,41>1$ — входит.
• $x=\frac{2}{3}\text{:}$ знаменатель $\sqrt{1}-1=0$ — точка исключена.
• $x=1\text{:}$ дробь равна $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=1\text{,}$ а нужно строго больше — точка исключена. Посторонних корней нет.

Ответ: $x\in \left[\frac{1}{2};\frac{2}{3}\right)\cup (1;+\infty ).$