58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T902,Решим уравнение $(\sin x+\cos x)^2=2$. **Раскрытие квадрата.** Возведём левую часть в квадрат, пользуясь основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ и формулой синуса двойного угла $2\sin x\cos x=\sin 2x$: \[(\sin x+\cos x)^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+\sin 2x.\] Уравнение принимает вид \[1+\sin 2x=2\iff \sin 2x=1.\] **Область определения.** Функции $\sin x$ и $\cos x$ определены при всех $x$, никаких ограничений ОДЗ нет; преобразование тождественно, поэтому полученное уравнение равносильно исходному, и посторонние корни появиться не могут. **Решение уравнения $\sin 2x=1$.** Синус равен своему наибольшему значению $1$ только в точках вида $\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$. Значит, \[2x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.\] Делим обе части на $2$: \[x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.\] **Замечание о периоде.** Так как $\sin 2x=1$ есть равенство в точке максимума, эта серия — единственная (других серий нет, как было бы для уравнения $\sin 2x=a$ при $|a|<1$). При этом период серии равен $\pi$, а не $2\pi$: деление аргумента на $2$ уменьшает шаг $2\pi$ до $\pi$. **Проверка.** Подставим $x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k$. Тогда $2x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$ и $\sin 2x=1$, поэтому $(\sin x+\cos x)^2=1+\sin 2x=1+1=2$ — верно при любом $k\in\mathbb{Z}$. Например, при $k=0$ имеем $x=\dfrac{\pi}{4}$: $\sin x=\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}$, и $\left(\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2=(\sqrt2)^2=2$; при $k=1$ имеем $x=\dfrac{5\pi}{4}$: $\sin x=\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}$, и $(-\sqrt2)^2=2$. **Ответ:** $x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$.5c:T7b1,Решим уравнение $\log_3(5-2x)=\log_9(5+x)$. **ОДЗ.** Аргументы логарифмов должны быть положительны: \[5-2x>0 \quad\text{и}\quad 5+x>0,\qquad\text{то есть}\qquad -51\) строго монотонен, поэтому равенство логарифмов равносильно равенству аргументов (в пределах ОДЗ): \[(5-2x)^2=5+x.\] Раскрываем: \[25-20x+4x^2=5+x,\qquad 4x^2-21x+20=0.\] Дискриминант: $D=21^2-4\cdot4\cdot20=441-320=121=11^2$. Корни: \[x=\frac{21\pm 11}{8},\qquad x_1=\frac{32}{8}=4,\qquad x_2=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}.\] **Проверка ОДЗ и отсев посторонних корней.** - $x=4$: $5-2x=5-8=-3<0$ — аргумент $\log_3(5-2x)$ отрицателен, корень посторонний (вне ОДЗ $x<\tfrac52$), отбрасываем. - $x=\dfrac{5}{4}$: $5-2x=\dfrac{5}{2}>0$, $5+x=\dfrac{25}{4}>0$, и $-5<\dfrac54<\dfrac52$ — ОДЗ выполнено. **Подстановка $x=\dfrac{5}{4}$ в исходное уравнение.** Левая часть равна $\log_3\!\left(\dfrac{5}{2}\right)$. Правая часть \[\log_9\!\left(\frac{25}{4}\right)=\frac{1}{2}\log_3\!\left(\frac{25}{4}\right)=\frac{1}{2}\log_3\!\left(\Big(\frac{5}{2}\Big)^2\right)=\log_3\!\left(\frac{5}{2}\right).\] Обе части совпали — равенство верно. **Ответ:** $x=\dfrac{5}{4}$.5d:Td45,Решим неравенство \[\frac{\sqrt{1-x}-1}{\sqrt{2+3x}-1}<1.\] **1. Область допустимых значений.** Подкоренные выражения неотрицательны, а знаменатель отличен от нуля: \[1-x\ge 0,\qquad 2+3x\ge 0,\qquad \sqrt{2+3x}-1\ne 0.\] Отсюда $x\le 1$, $x\ge -\dfrac{2}{3}$ и $2+3x\ne 1$, то есть $x\ne -\dfrac{1}{3}$. Итак, ОДЗ: \[x\in\left[-\frac{2}{3};\,-\frac{1}{3}\right)\cup\left(-\frac{1}{3};\,1\right].\] **2. Перенос в одну часть.** Запишем \[\frac{\sqrt{1-x}-1}{\sqrt{2+3x}-1}-1<0\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{2+3x}}{\sqrt{2+3x}-1}<0.\] **3. Анализ числителя.** Знак разности $\sqrt{1-x}-\sqrt{2+3x}$ совпадает со знаком разности подкоренных выражений: \[(1-x)-(2+3x)=-1-4x.\] Значит, числитель положителен при $x<-\dfrac{1}{4}$, равен нулю при $x=-\dfrac{1}{4}$ и отрицателен при $x>-\dfrac{1}{4}$ (в пределах ОДЗ). **4. Анализ знаменателя.** Так как $\sqrt{2+3x}\ge 0$, знак выражения $\sqrt{2+3x}-1$ совпадает со знаком $ (2+3x)-1=1+3x$: он отрицателен при $x<-\dfrac{1}{3}$ и положителен при $x>-\dfrac{1}{3}$. **5. Метод интервалов на ОДЗ.** Дробь отрицательна там, где числитель и знаменатель имеют разные знаки. Рассмотрим участки ОДЗ. *Участок* $\left[-\dfrac{2}{3};\,-\dfrac{1}{3}\right)$: здесь $x<-\dfrac{1}{4}$, поэтому числитель $>0$; и $x<-\dfrac{1}{3}$, поэтому знаменатель $<0$. Дробь отрицательна — неравенство выполнено. Левый конец $x=-\dfrac{2}{3}$ входит в ОДЗ (при нём числитель $\sqrt{5/3}>0$, знаменатель $-1<0$, дробь отрицательна) и включается. *Участок* $\left(-\dfrac{1}{3};\,-\dfrac{1}{4}\right)$: здесь числитель $>0$, а знаменатель $>0$ (так как $x>-\dfrac{1}{3}$). Дробь положительна — неравенство не выполнено. *Точка* $x=-\dfrac{1}{4}$: числитель равен нулю, дробь равна нулю; неравенство строгое, поэтому точка не входит. (Эквивалентно: равенство дроби единице даёт $\sqrt{1-x}=\sqrt{2+3x}\Rightarrow 1-x=2+3x\Rightarrow x=-\dfrac14$, при котором исходная дробь равна $1$, а не меньше.) *Участок* $\left(-\dfrac{1}{4};\,1\right]$: числитель $<0$, знаменатель $>0$. Дробь отрицательна — неравенство выполнено. Правый конец $x=1$ входит в ОДЗ (числитель $=-1<0$, знаменатель $\sqrt5-1>0$, дробь отрицательна) и включается. **6. Объединение.** Решение неравенства: \[x\in\left[-\frac{2}{3};\,-\frac{1}{3}\right)\cup\left(-\frac{1}{4};\,1\right].\]5e:Tf5a,Обозначим стороны треугольника $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$. По условию $AP$ и $BQ$ — медианы, поэтому $P$ — середина $BC$, $Q$ — середина $CA$, а $D$ — точка их пересечения, то есть центроид треугольника $ABC$. **1. Условие вписанности четырёхугольника $PCQD$.** Заметим, что $CP=\tfrac{a}{2}$, $CQ=\tfrac{b}{2}$, а угол $\angle PCQ=\angle BCA=\gamma$ — это угол треугольника при вершине $C$ (лучи $CP$ и $CQ$ лежат на сторонах $CB$ и $CA$). Около выпуклого четырёхугольника $PCQD$ можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны $180^\circ$, то есть $\angle PCQ+\angle PDQ=180^\circ$. Так как $D$ — центроид, $\angle PDQ$ — это угол между лучами $DP$ и $DQ$. Лучи $DP$ и $DA$ противоположны (точки $A,D,P$ лежат на медиане $AP$), и аналогично $DQ$ и $DB$ противоположны; значит, $\angle PDQ=\angle ADB$ (вертикальные углы). Следовательно, условие вписанности равносильно \[\angle BCA+\angle ADB=180^\circ.\] Для получения удобной алгебраической формы воспользуемся прямым вычислением. Поместим $C=(0,0)$, $B=(a,0)$, $A=(b\cos\gamma,\,b\sin\gamma)$. Тогда \[P=\Big(\tfrac{a}{2},0\Big),\quad Q=\Big(\tfrac{b\cos\gamma}{2},\tfrac{b\sin\gamma}{2}\Big),\quad D=\Big(\tfrac{a+b\cos\gamma}{3},\tfrac{b\sin\gamma}{3}\Big).\] Условие концикличности четырёх точек $P,C,Q,D$ (равенство нулю определителя $\begin{vmatrix} x^2+y^2 & x & y & 1\end{vmatrix}$ по строкам этих точек) после упрощения с учётом $\cos\gamma=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ принимает вид \[\big(a^2+b^2-2c^2\big)\cdot\big(4S\big)=0,\] где $S$ — площадь треугольника. Поскольку для невырожденного треугольника $S\neq0$, получаем \[a^2+b^2=2c^2.\] **2. Использование длины $CD$.** Отрезок $CD$ — это часть медианы $CM$ (где $M$ — середина $AB$) от вершины $C$ до центроида. Центроид делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины, поэтому $CD=\tfrac{2}{3}\,m_c$, где $m_c$ — длина медианы из $C$. Из формулы медианы $m_c^2=\dfrac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$ следует \[CD^2=\frac{4}{9}\,m_c^2=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{9}.\] Подставляя сюда условие вписанности $2a^2+2b^2=4c^2$, получаем \[CD^2=\frac{4c^2-c^2}{9}=\frac{3c^2}{9}=\frac{c^2}{3}.\] **3. Ответ.** По условию $CD=\sqrt{12}$, то есть $CD^2=12$. Тогда \[\frac{c^2}{3}=12\ \Longrightarrow\ c^2=36\ \Longrightarrow\ c=AB=6\] (отрицательный корень $c=-6$ отброшен как длина). Условие $a^2+b^2=72$ совместно с неравенством треугольника выполнимо (например, $a=b=6$ даёт правильный по сторонам $CA=CB$ равнобедренный треугольник), поэтому конфигурация существует, а ответ от выбора конкретного такого треугольника не зависит. \[AB=6.\]5f:T9e8,Область определения функции — вся числовая прямая (знаменатель $9^{x+1}+6^x+4^{x-1}$ есть сумма положительных слагаемых, поэтому он всюду положителен и в нуль не обращается). Разделим числитель и знаменатель на $6^x>0$. Учитывая, что \[9^{x+1}=9\cdot 9^x,\qquad 4^{x-1}=\tfrac14\cdot 4^x,\] и что \[\frac{9^x}{6^x}=\left(\frac{3}{2}\right)^x,\qquad \frac{4^x}{6^x}=\left(\frac{2}{3}\right)^x=\left(\frac{3}{2}\right)^{-x},\] получаем \[\frac{6^x}{9^{x+1}+6^x+4^{x-1}}=\frac{1}{\,9\left(\frac32\right)^x+1+\dfrac14\left(\frac32\right)^{-x}\,}.\] Введём замену $t=\left(\dfrac32\right)^x$. При пробегании $x$ всей прямой величина $t$ принимает все значения из $(0,+\infty)$. Тогда исходная функция равна \[\frac{1}{h(t)},\qquad h(t)=9t+1+\frac{1}{4t},\quad t>0.\] Наибольшее значение дроби достигается там, где знаменатель $h(t)$ минимален. Оценим знаменатель снизу. Слагаемые $9t>0$ и $\dfrac{1}{4t}>0$, а их произведение постоянно: \[9t\cdot\frac{1}{4t}=\frac94.\] По неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом \[9t+\frac{1}{4t}\geqslant 2\sqrt{9t\cdot\frac{1}{4t}}=2\cdot\frac32=3,\] поэтому \[h(t)=9t+\frac{1}{4t}+1\geqslant 3+1=4,\] и, значит, \[\frac{1}{h(t)}\leqslant \frac14.\] Равенство в неравенстве о средних достигается, когда оба слагаемых равны: \[9t=\frac{1}{4t}\iff t^2=\frac{1}{36}\iff t=\frac16\quad(\text{берём }t>0).\] В этой точке $h(t)=4$ и значение функции равно ровно $\dfrac14$; так как такое $t$ достижимо, верхняя граница $\dfrac14$ есть наибольшее значение функции. Найдём точку $x$. Из $\left(\dfrac32\right)^x=t=\dfrac16$ следует \[x=\log_{3/2}\frac16=-\log_{3/2}6=-\frac{\ln 6}{\ln\frac32}=\frac{\ln 2+\ln 3}{\ln 2-\ln 3}\approx -4{,}419.\] Итог: наибольшее значение функции равно $\dfrac14$ и достигается в точке $x=\log_{3/2}\dfrac16=-\log_{3/2}6$.60:Tdaf,Введём систему координат с началом в вершине куба, в которой сходятся плоскость основания и две упомянутые соседние боковые грани. Направим оси так, чтобы куб занимал область $0\leqslant x\leqslant 3$, $0\leqslant y\leqslant 3$, $0\leqslant z\leqslant 3$. Тогда: \[\text{основание: } z=0,\qquad \text{две соседние боковые грани: } x=0,\ y=0,\qquad \text{грань, параллельная основанию: } z=3.\] Центр сферы радиуса $r$, касающейся плоскости, лежит на расстоянии $r$ от этой плоскости. Первая сфера (радиус $r_1=1$) касается основания $z=0$ и граней $x=0$, $y=0$. Значит, её центр равноудалён от этих трёх плоскостей на расстояние $1$: \[O_1=(1,\,1,\,1).\] Вторая сфера (радиус $R$) касается тех же граней $x=0$, $y=0$ и грани $z=3$. Поэтому её центр имеет координаты \[O_2=(R,\,R,\,3-R).\] Сферы касаются друг друга. Касание внешнее (вторая сфера расположена в верхней части куба у грани $z=3$, первая — у основания $z=0$; их области не вложены друг в друга), поэтому расстояние между центрами равно сумме радиусов: \[|O_1O_2|=r_1+R=1+R.\] Вычислим квадрат расстояния: \[|O_1O_2|^2=(R-1)^2+(R-1)^2+\bigl((3-R)-1\bigr)^2=2(R-1)^2+(2-R)^2.\] Приравниваем к $(1+R)^2$: \[2(R-1)^2+(2-R)^2=(1+R)^2.\] Раскроем: \[2(R^2-2R+1)+(R^2-4R+4)=R^2+2R+1,\] \[2R^2-4R+2+R^2-4R+4=R^2+2R+1,\] \[3R^2-8R+6=R^2+2R+1,\] \[2R^2-10R+5=0.\] Отсюда \[R=\frac{10\pm\sqrt{100-40}}{4}=\frac{10\pm\sqrt{60}}{4}=\frac{5\pm\sqrt{15}}{2}.\] Отбор корней (края/посторонние решения). Так как $\sqrt{15}\approx3{,}873$: \[R_1=\frac{5-\sqrt{15}}{2}\approx0{,}564,\qquad R_2=\frac{5+\sqrt{15}}{2}\approx4{,}436.\] Корень $R_2$ невозможен: для него аппликата центра $3-R_2\approx-1{,}44<0$, то есть центр вышел бы за пределы куба (и сама сфера радиуса $>3$ не помещается). Поэтому он посторонний и отбрасывается. Проверим, что корень $R_1=\dfrac{5-\sqrt{15}}{2}$ даёт сферу, целиком лежащую в кубе. Центр $O_2\approx(0{,}564;\,0{,}564;\,2{,}436)$, радиус $R_1\approx0{,}564$: сфера занимает по $x$ и $y$ отрезок $[0;\,1{,}127]\subset[0;3]$, по $z$ — отрезок $[1{,}873;\,3]\subset[0;3]$; она касается граней $x=0$, $y=0$, $z=3$ и не пересекает остальных. Первая сфера с центром $(1,1,1)$ и радиусом $1$ занимает по каждой оси $[0;2]\subset[0;3]$ — тоже целиком внутри. Все условия задачи выполнены. Таким образом, радиус второй сферы равен $\dfrac{5-\sqrt{15}}{2}$.61:Tc2c,Требуется найти площадь множества точек $(x,y)$, удовлетворяющих системе \[\begin{cases}3x^2+4xy+12y^2\leqslant 1,\\ 5x+6y\leqslant -3.\end{cases}\] **Анализ первого неравенства.** Квадратичная форма $Q(x,y)=3x^2+4xy+12y^2$ имеет матрицу с определителем $3\cdot 12-2^2=32>0$ и положительным угловым минором $3>0$, поэтому форма положительно определена. Значит, множество $3x^2+4xy+12y^2\leqslant 1$ — это замкнутый эллипс (выпуклый компакт) с центром в начале координат. **Минимум линейной функции на эллипсе.** Рассмотрим линейную функцию $L(x,y)=5x+6y$ на этом эллипсе. Найдём её экстремумы на границе $3x^2+4xy+12y^2=1$ методом множителей Лагранжа: из $\nabla L=\lambda\nabla Q$ получаем \[5=\lambda(6x+4y),\qquad 6=\lambda(4x+24y).\] Решая эту систему вместе с уравнением границы, находим две критические точки: \[\left(-\tfrac12,\,-\tfrac1{12}\right)\ \text{со значением}\ L=-3,\qquad \left(\tfrac12,\,\tfrac1{12}\right)\ \text{со значением}\ L=3.\] Следовательно, на всём замкнутом эллипсе $L(x,y)=5x+6y\geqslant -3$, причём равенство $5x+6y=-3$ достигается *единственной* точкой $\left(-\tfrac12,-\tfrac1{12}\right)$ (она лежит на эллипсе: $3\cdot\tfrac14+4\cdot\tfrac12\cdot\tfrac1{12}+12\cdot\tfrac1{144}=\tfrac34+\tfrac16+\tfrac1{12}=1$). **Геометрический смысл.** Прямая $5x+6y=-3$ касается эллипса в точке $\left(-\tfrac12,-\tfrac1{12}\right)$, а весь эллипс (включая центр, где $5\cdot 0+6\cdot 0=0>-3$) лежит в полуплоскости $5x+6y\geqslant -3$. Поэтому второе неравенство $5x+6y\leqslant -3$ совместно с принадлежностью эллипсу выполняется только при $5x+6y=-3$, то есть лишь в единственной точке касания $\left(-\tfrac12,-\tfrac1{12}\right)$. **Вывод.** Искомое множество состоит из одной точки. Площадь одноточечного множества равна нулю: \[S=0.\] **Замечание (контроль).** Площадь самого эллипса $3x^2+4xy+12y^2\leqslant 1$ равна $\dfrac{2\pi}{\sqrt{4\cdot 3\cdot 12-4^2}}=\dfrac{2\pi}{\sqrt{128}}=\dfrac{\pi\sqrt2}{8}\approx 0{,}555$, что положительно; однако полуплоскость отсекает от него лишь точку касания, поэтому результирующая площадь равна нулю.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"ДВИ МГУ 2011 — вариант 2\",\"description\":\"Коллекция \\\"ДВИ МГУ 2011 — вариант 2\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 8 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/dvi-math-2011-v2\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T05:10:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"ДВИ МГУ 2011 — вариант 2\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ 2011 — вариант 2-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"ДВИ МГУ 2011 — вариант 2"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"dvi-math-2011-v2","serverCollection":{"id":"d8557301-b3ea-490c-9310-b107f314b85e","name":"ДВИ МГУ 2011 — вариант 2","code":"dvi-math-2011-v2","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"hidden_problem_count":0,"solved_count":0,"source":"ЦПК МГУ / мехмат","source_url":"https://cpk.msu.ru/entrance/files/2011/math.20110717.2.pdf","total_problem_count":8,"variant_batch":"dvi-2011-2019-v1","variant_label":"ВАРИАНТ 112 (17 июля 2011)","visible_problem_count":8,"year":2011},"created_at":"2026-06-10T05:10:00Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:46.488821Z","problem_count":8,"visible_count":8,"total_count":8,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"3d23e4c5-7020-409f-9e96-37500c37f727","collection_id":"d8557301-b3ea-490c-9310-b107f314b85e","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"3d23e4c5-7020-409f-9e96-37500c37f727","short_id":17754,"task_number":14,"topic_id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":2,"content_text":"Вычислите значение функции \$\\dfrac{x^2-5}{x-0{,}2}\$ в точке \$x=\\dfrac{9}{4}\$.","answer_text":"\$\\dfrac{5}{164}\$","answer":"\$\\dfrac{5}{164}\$","solution_text":"Функция \$\\dfrac{x^2-5}{x-0{,}2}\$ определена при \$x\\neq 0{,}2\$. В точке \$x=\\dfrac{9}{4}\$ знаменатель равен \$\\dfrac{9}{4}-\\dfrac{1}{5}=\\dfrac{45-4}{20}=\\dfrac{41}{20}\\neq 0\$, поэтому значение существует.\n\nВычислим числитель:\n\\[x^2-5=\\left(\\frac{9}{4}\\right)^2-5=\\frac{81}{16}-\\frac{80}{16}=\\frac{1}{16}.\\]\n\nТогда\n\\[\\frac{x^2-5}{x-0{,}2}=\\frac{\\dfrac{1}{16}}{\\dfrac{41}{20}}=\\frac{1}{16}\\cdot\\frac{20}{41}=\\frac{20}{656}=\\frac{5}{164}.\\]\n\nДробь \$\\dfrac{5}{164}\$ несократима, так как \$\\gcd(5,164)=1\$.","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":1,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 112 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v2","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","name":"Вычисления и оценки","description":null},"tags":[{"id":"161ce81e-7848-4a50-990d-f97dfcbb50aa","code":"tag-22","name":"Преобразования выражений, включающих арифметические операции"},{"id":"531493ee-224a-4681-8082-dfe4a4b01413","code":"tag-78","name":"Рациональные уравнения"},{"id":"a2b4e925-7b33-4fc8-aeb6-0a8f03dd4256","code":"tag-147","name":"Дроби, проценты, рациональные числа"}]}},{"problem_id":"ec06c33a-d3d4-4373-b741-8aa537dcdcbe","collection_id":"d8557301-b3ea-490c-9310-b107f314b85e","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"ec06c33a-d3d4-4373-b741-8aa537dcdcbe","short_id":17755,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":3,"content_text":"Решите уравнение \$(\\sin x+\\cos x)^2=2\$.","answer_text":"\$x = \\frac{\\pi}{4} + k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$x = \\frac{\\pi}{4} + k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":2,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 112 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v2","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"3d67eb82-f5d0-40c6-936f-4730c9e5b2a7","code":"tag-57","name":"Основные тригонометрические тождества"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"ce7c2741-ac03-4ffe-afe8-d71552c8416c","code":"tag-196","name":"Синус и косинус двойного угла"}]}},{"problem_id":"557d1759-3890-4f15-8dd6-4c9025ea5baa","collection_id":"d8557301-b3ea-490c-9310-b107f314b85e","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"557d1759-3890-4f15-8dd6-4c9025ea5baa","short_id":17756,"task_number":17,"topic_id":"57c71533-3578-44db-89b2-cbb8140c30a6","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":4,"content_text":"Решите уравнение\n\\[\\log_3(5-2x)=\\log_9(5+x).\\]","answer_text":"\$x = \\dfrac{5}{4}\$","answer":"\$x = \\dfrac{5}{4}\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":3,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 112 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v2","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"57c71533-3578-44db-89b2-cbb8140c30a6","name":"Логарифмические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"562d9797-2caf-4ba7-9fa3-a4c33d8cc0a6","code":"tag-80","name":"Область определения уравнения"},{"id":"728bc58c-1ce7-411d-8367-ebc8e9dfd104","code":"tag-106","name":"Квадратные уравнения"},{"id":"c8cd9c24-fac7-48ab-b79b-6c5fbd73b985","code":"tag-189","name":"Логарифмические уравнения"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"}]}},{"problem_id":"e535adba-d7c4-42ff-bfc8-f371dc511c51","collection_id":"d8557301-b3ea-490c-9310-b107f314b85e","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"e535adba-d7c4-42ff-bfc8-f371dc511c51","short_id":17757,"task_number":16,"topic_id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решите неравенство\n\\[\\frac{\\sqrt{1-x}-1}{\\sqrt{2+3x}-1}<1.\\]","answer_text":"\$x \\in \\left[-\\dfrac{2}{3};\\,-\\dfrac{1}{3}\\right) \\cup \\left(-\\dfrac{1}{4};\\,1\\right]\$","answer":"\$x \\in \\left[-\\dfrac{2}{3};\\,-\\dfrac{1}{3}\\right) \\cup \\left(-\\dfrac{1}{4};\\,1\\right]\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":4,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 112 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v2","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","name":"Иррациональные неравенства","description":null},"tags":[{"id":"2c55495d-5b54-461b-8a9b-3567966b9d28","code":"tag-40","name":"Метод интервалов"},{"id":"326a65ae-efb0-4ca3-b01b-d170bc5caf10","code":"tag-46","name":"Иррациональные неравенства"},{"id":"97a61ebf-fada-488c-8940-7a5b929b6743","code":"tag-134","name":"Область определения неравенства"}]}},{"problem_id":"8bcafc27-4a34-46e1-bc32-31a978cbd734","collection_id":"d8557301-b3ea-490c-9310-b107f314b85e","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"8bcafc27-4a34-46e1-bc32-31a978cbd734","short_id":17758,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Медианы \$AP\$ и \$BQ\$ треугольника \$ABC\$ пересекаются в точке \$D\$. Найдите длину отрезка \$AB\$, если \$CD=\\sqrt{12}\$ и известно, что вокруг четырёхугольника \$PCQD\$ можно описать окружность.","answer_text":"\$6\$","answer":"\$6\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":5,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 112 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v2","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"571cbc3f-ec88-4837-b0f7-266854acd8f6","code":"tag-81","name":"Окружность, описанная вокруг четырехугольника"},{"id":"a42676d8-721d-416b-9509-d365704bb645","code":"tag-151","name":"Треугольник"},{"id":"ac363015-7c47-47f2-be45-7c955578a6ab","code":"tag-160","name":"Расстояние между точками"}]}},{"problem_id":"06950aa3-8372-40f9-8cd8-5d71688f6931","collection_id":"d8557301-b3ea-490c-9310-b107f314b85e","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"06950aa3-8372-40f9-8cd8-5d71688f6931","short_id":17759,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Найдите наибольшее из значений функции\n\\[\\frac{6^x}{9^{x+1}+6^x+4^{x-1}}\\]\nи точку \$x\$, в которой это значение достигается.","answer_text":"\$\\frac{1}{4}\$ при \$x=\\log_{3/2}\\frac{1}{6}=-\\log_{3/2}6\$","answer":"\$\\frac{1}{4}\$ при \$x=\\log_{3/2}\\frac{1}{6}=-\\log_{3/2}6\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":6,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 112 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v2","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"164a5062-f1e8-49cd-ad14-ee6f3e291522","code":"tag-23","name":"Уравнения рациональные относительно показательных функций"},{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"47c85d66-1ef5-4425-98bb-a75069df7dc2","code":"tag-68","name":"Показательная функция, её график"},{"id":"e505916c-c20a-4e24-b7cc-04fdbdd28d69","code":"tag-221","name":"Наименьшее, наибольшее значение функции во внутренней точке отрезка"}]}},{"problem_id":"592a953e-e6e3-4443-8239-5b9cd1c9eff5","collection_id":"d8557301-b3ea-490c-9310-b107f314b85e","display_order":7,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"592a953e-e6e3-4443-8239-5b9cd1c9eff5","short_id":17760,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Внутри куба с ребром 3 расположены две сферы. Первая касается плоскости основания и двух соседних боковых граней куба. Вторая сфера касается тех же двух боковых граней, грани куба, параллельной основанию, и первой сферы. Чему равен радиус второй сферы, если радиус первой равен 1?","answer_text":"\$\\dfrac{5-\\sqrt{15}}{2}\$","answer":"\$\\dfrac{5-\\sqrt{15}}{2}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":7,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 112 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v2","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"a10bcfea-9448-4bdb-b69b-2dc377bcf4de","code":"tag-144","name":"Куб"},{"id":"ac363015-7c47-47f2-be45-7c955578a6ab","code":"tag-160","name":"Расстояние между точками"},{"id":"b08fa4e2-4af6-40f5-ad34-408bf3068be7","code":"tag-165","name":"Шар"},{"id":"d32e29f3-03cd-4611-a30a-5cd040c54cdd","code":"tag-198","name":"Координаты на прямой, декартовы координаты на плоскости и в пространстве"}]}},{"problem_id":"deb80612-0c17-46eb-aaaf-c53ca6bf470d","collection_id":"d8557301-b3ea-490c-9310-b107f314b85e","display_order":8,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"deb80612-0c17-46eb-aaaf-c53ca6bf470d","short_id":17761,"task_number":19,"topic_id":"000fc2fd-c5a2-455f-aa01-620d43e2e4ea","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Решите систему неравенств\n\\[\\begin{cases}3x^2+4xy+12y^2\\leqslant 1,\\\\ 5x+6y\\leqslant -3.\\end{cases}\\]","answer_text":"\$0\$","answer":"\$0\$","solution_text":"$61","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":8,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":null,"variant":"ВАРИАНТ 112 (17 июля 2011)","variant_key":"2011-v2","year":2011},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"000fc2fd-c5a2-455f-aa01-620d43e2e4ea","name":"Нестандартная алгебра","description":null},"tags":[{"id":"378ecccb-5211-4448-b874-8f22ba33c931","code":"tag-50","name":"Квадратные неравенства"},{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"bdc218ab-0917-4a7d-9ebf-df1a98e2ace6","code":"tag-180","name":"Системы неравенств"},{"id":"d32e29f3-03cd-4611-a30a-5cd040c54cdd","code":"tag-198","name":"Координаты на прямой, декартовы координаты на плоскости и в пространстве"}]}}],"total":8},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]