Найдите наибольшее из значений функции (6^x)/(9^(x+1)+6^x+4^(x-1)) и точку x, в которой это значение достигается.

Область определения функции — вся числовая прямая (знаменатель 9^(x+1)+6^x+4^(x-1) есть сумма положительных слагаемых, поэтому он всюду положителен и в нуль не обращается). Разделим числитель и знаменатель на 6^x>0. Учитывая, что 9^(x+1)=9* 9^x, 4^(x-1)=14* 4^x, и что (9^x)/(6^x)=((3)/(2))^x, (4^x)/(6^x)=((2)/(3))^x=((3)/(2))^(-x), получаем (6^x)/(9^(x+1)+6^x+4^(x-1))=(1)/(9(32)^x+1+14(32)^(-x)). Введём замену t=(32)^x. При пробегании x всей прямой величина t принимает все значения из (0,+inf). Тогда исходная функция равна (1)/(h(t)), h(t)=9t+1+(1)/(4t), t>0. Наибольшее значение дроби достигается там, где знаменатель h(t) минимален. Оценим знаменатель снизу. Слагаемые 9t>0 и (1)/(4t)>0, а их произведение постоянно: 9t*(1)/(4t)=94. По неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом 9t+(1)/(4t) 2sqrt(9t*(1)/(4t))=2*32=3, поэтому h(t)=9t+(1)/(4t)+1 3+1=4, и, значит, (1)/(h(t)) 14. Равенство в неравенстве о средних достигается, когда оба слагаемых равны: 9t=(1)/(4t) t^2=(1)/(36) t=16 (берём t>0). В этой точке h(t)=4 и значение функции равно ровно 14; так как такое t достижимо, верхняя граница 14 есть наибольшее значение функции. Найдём точку x. Из (32)^x=t=16 следует x=_(3/2)16=-_(3/2)6=-(ln 6)/(ln32)=(ln 2+ln 3)/(ln 2-ln 3)~ -4,419. Итог: наибольшее значение функции равно 14 и достигается в точке x=_(3/2)16=-_(3/2)6.

\frac{1}{4} при x=\log_{3/2}\frac{1}{6}=-\log_{3/2}6