Задача №17759

Найдите наибольшее из значений функции

$$\frac{6^x}{9^{x+1}+6^x+4^{x-1}}$$

и точку $x\text{,}$ в которой это значение достигается.

Область определения функции — вся числовая прямая (знаменатель $9^{x+1}+6^x+4^{x-1}$ есть сумма положительных слагаемых, поэтому он всюду положителен и в нуль не обращается).

Разделим числитель и знаменатель на $6^x>0\text{.}$ Учитывая, что

$$9^{x+1}=9\cdot 9^x,4^{x-1}=\frac{1}{4}\cdot 4^x,$$

и что

$$\frac{9^x}{6^x}={\left(\frac{3}{2}\right)}^x,\frac{4^x}{6^x}={\left(\frac{2}{3}\right)}^x={\left(\frac{3}{2}\right)}^{-x},$$

получаем

$$\frac{6^x}{9^{x+1}+6^x+4^{x-1}}=\frac{1}{9{\left(\frac{3}{2}\right)}^x+1+\frac{1}{4}{\left(\frac{3}{2}\right)}^{-x}}.$$

Введём замену $t={\left(\frac{3}{2}\right)}^x\text{.}$ При пробегании $x$ всей прямой величина $t$ принимает все значения из $(0,+\infty )\text{.}$ Тогда исходная функция равна

$$\frac{1}{h(t)},h(t)=9t+1+\frac{1}{4t},t>0.$$

Наибольшее значение дроби достигается там, где знаменатель $h(t)$ минимален.

Оценим знаменатель снизу. Слагаемые $9t>0$ и $\frac{1}{4t}>0\text{,}$ а их произведение постоянно:

$$9t\cdot \frac{1}{4t}=\frac{9}{4}.$$

По неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом

$$9t+\frac{1}{4t}⩾2\sqrt{9t\cdot \frac{1}{4t}}=2\cdot \frac{3}{2}=3,$$

поэтому

$$h(t)=9t+\frac{1}{4t}+1⩾3+1=4,$$

и, значит,

$$\frac{1}{h(t)}⩽\frac{1}{4}.$$

Равенство в неравенстве о средних достигается, когда оба слагаемых равны:

$$9t=\frac{1}{4t}⟺t^2=\frac{1}{36}⟺t=\frac{1}{6}(\text{берём }t>0).$$

В этой точке $h(t)=4$ и значение функции равно ровно $\frac{1}{4}\text{;}$ так как такое $t$ достижимо, верхняя граница $\frac{1}{4}$ есть наибольшее значение функции.

Найдём точку $x\text{.}$ Из ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x=t=\frac{1}{6}$ следует

$$x={\log }_{3/2}\frac{1}{6}=-{\log }_{3/2}6=-\frac{\ln 6}{\ln \frac{3}{2}}=\frac{\ln 2+\ln 3}{\ln 2-\ln 3}\approx -4,419.$$

Итог: наибольшее значение функции равно $\frac{1}{4}$ и достигается в точке $x={\log }_{3/2}\frac{1}{6}=-{\log }_{3/2}6\text{.}$