Задача №17758

Медианы $AP$ и $BQ$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $D\text{.}$ Найдите длину отрезка $AB\text{,}$ если $CD=\sqrt{12}$ и известно, что вокруг четырёхугольника $PCQD$ можно описать окружность.

Обозначим стороны треугольника $a=BC\text{,}$ $b=CA\text{,}$ $c=AB\text{.}$ По условию $AP$ и $BQ$ — медианы, поэтому $P$ — середина $BC\text{,}$ $Q$ — середина $CA\text{,}$ а $D$ — точка их пересечения, то есть центроид треугольника $ABC\text{.}$

1. Условие вписанности четырёхугольника $PCQD\text{.}$

Заметим, что $CP=\frac{a}{2}\text{,}$ $CQ=\frac{b}{2}\text{,}$ а угол $\angle PCQ=\angle BCA=\gamma$ — это угол треугольника при вершине $C$ (лучи $CP$ и $CQ$ лежат на сторонах $CB$ и $CA$).

Около выпуклого четырёхугольника $PCQD$ можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны $180^{\circ }\text{,}$ то есть $\angle PCQ+\angle PDQ=180^{\circ }\text{.}$ Так как $D$ — центроид, $\angle PDQ$ — это угол между лучами $DP$ и $DQ\text{.}$ Лучи $DP$ и $DA$ противоположны (точки $A,D,P$ лежат на медиане $AP$), и аналогично $DQ$ и $DB$ противоположны; значит, $\angle PDQ=\angle ADB$ (вертикальные углы). Следовательно, условие вписанности равносильно

Для получения удобной алгебраической формы воспользуемся прямым вычислением. Поместим $C=(0,0)\text{,}$ $B=(a,0)\text{,}$ $A=(b\cos \gamma ,b\sin \gamma )\text{.}$ Тогда

Условие концикличности четырёх точек $P,C,Q,D$ (равенство нулю определителя
$\left|\begin{array}{cccc}{x}^2+y^2& x& y& 1\end{array}\right|$ по строкам этих точек) после упрощения с учётом $\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ принимает вид

где $S$ — площадь треугольника. Поскольку для невырожденного треугольника $S\ne 0\text{,}$ получаем

2. Использование длины $CD\text{.}$

Отрезок $CD$ — это часть медианы $CM$ (где $M$ — середина $AB$) от вершины $C$ до центроида. Центроид делит медиану в отношении $2:1\text{,}$ считая от вершины, поэтому $CD=\frac{2}{3}{m}_c\text{,}$ где $m_c$ — длина медианы из $C\text{.}$ Из формулы медианы $m_c^2=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$ следует

Подставляя сюда условие вписанности $2a^2+2b^2=4c^2\text{,}$ получаем

3. Ответ.

По условию $CD=\sqrt{12}\text{,}$ то есть $C{D}^2=12\text{.}$ Тогда

(отрицательный корень $c=-6$ отброшен как длина).

Условие $a^2+b^2=72$ совместно с неравенством треугольника выполнимо (например, $a=b=6$ даёт правильный по сторонам $CA=CB$ равнобедренный треугольник), поэтому конфигурация существует, а ответ от выбора конкретного такого треугольника не зависит.