Медианы AP и BQ треугольника ABC пересекаются в точке D. Найдите длину отрезка AB, если CD=sqrt(12) и известно, что вокруг четырёхугольника PCQD можно описать окружность.

Обозначим стороны треугольника a=BC, b=CA, c=AB. По условию AP и BQ — медианы, поэтому P — середина BC, Q — середина CA, а D — точка их пересечения, то есть центроид треугольника ABC. **1. Условие вписанности четырёхугольника PCQD.** Заметим, что CP=(a)/(2), CQ=(b)/(2), а угол PCQ= BCA=gamma — это угол треугольника при вершине C (лучи CP и CQ лежат на сторонах CB и CA). Около выпуклого четырёхугольника PCQD можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180^, то есть PCQ+ PDQ=180^. Так как D — центроид, PDQ — это угол между лучами DP и DQ. Лучи DP и DA противоположны (точки A,D,P лежат на медиане AP), и аналогично DQ и DB противоположны; значит, PDQ= ADB (вертикальные углы). Следовательно, условие вписанности равносильно BCA+ ADB=180^. Для получения удобной алгебраической формы воспользуемся прямым вычислением. Поместим C=(0,0), B=(a,0), A=(b,b). Тогда P=((a)/(2),0), Q=((b)/(2),(b)/(2)), D=((a+b)/(3),(b)/(3)). Условие концикличности четырёх точек P,C,Q,D (равенство нулю определителя vmatrix x^2+y^2 & x & y & 1vmatrix по строкам этих точек) после упрощения с учётом =(a^2+b^2-c^2)/(2ab) принимает вид (a^2+b^2-2c^2)*(4S)=0, где S — площадь треугольника. Поскольку для невырожденного треугольника S0, получаем a^2+b^2=2c^2. **2. Использование длины CD.** Отрезок CD — это часть медианы CM (где M — середина AB) от вершины C до центроида. Центроид делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому CD=(2)/(3)m_c, где m_c — длина медианы из C. Из формулы медианы m_c^2=(2a^2+2b^2-c^2)/(4) следует CD^2=(4)/(9)m_c^2=(2a^2+2b^2-c^2)/(9). Подставляя сюда условие вписанности 2a^2+2b^2=4c^2, получаем CD^2=(4c^2-c^2)/(9)=(3c^2)/(9)=(c^2)/(3). **3. Ответ.** По условию CD=sqrt(12), то есть CD^2=12. Тогда (c^2)/(3)=12 c^2=36 c=AB=6 (отрицательный корень c=-6 отброшен как длина). Условие a^2+b^2=72 совместно с неравенством треугольника выполнимо (например, a=b=6 даёт правильный по сторонам CA=CB равнобедренный треугольник), поэтому конфигурация существует, а ответ от выбора конкретного такого треугольника не зависит. AB=6.

6