Внутри куба с ребром 3 расположены две сферы. Первая касается плоскости основания и двух соседних боковых граней куба. Вторая сфера касается тех же двух боковых граней, грани куба, параллельной основанию, и первой сферы. Чему равен радиус второй сферы, если радиус первой равен 1?

Введём систему координат с началом в вершине куба, в которой сходятся плоскость основания и две упомянутые соседние боковые грани. Направим оси так, чтобы куб занимал область 0 x 3, 0 y 3, 0 z 3. Тогда: основание: z=0, две соседние боковые грани: x=0, y=0, грань, параллельная основанию: z=3. Центр сферы радиуса r, касающейся плоскости, лежит на расстоянии r от этой плоскости. Первая сфера (радиус r_1=1) касается основания z=0 и граней x=0, y=0. Значит, её центр равноудалён от этих трёх плоскостей на расстояние 1: O_1=(1,1,1). Вторая сфера (радиус R) касается тех же граней x=0, y=0 и грани z=3. Поэтому её центр имеет координаты O_2=(R,R,3-R). Сферы касаются друг друга. Касание внешнее (вторая сфера расположена в верхней части куба у грани z=3, первая — у основания z=0; их области не вложены друг в друга), поэтому расстояние между центрами равно сумме радиусов: |O_1O_2|=r_1+R=1+R. Вычислим квадрат расстояния: |O_1O_2|^2=(R-1)^2+(R-1)^2+((3-R)-1)^2=2(R-1)^2+(2-R)^2. Приравниваем к (1+R)^2: 2(R-1)^2+(2-R)^2=(1+R)^2. Раскроем: 2(R^2-2R+1)+(R^2-4R+4)=R^2+2R+1, 2R^2-4R+2+R^2-4R+4=R^2+2R+1, 3R^2-8R+6=R^2+2R+1, 2R^2-10R+5=0. Отсюда R=(10+-sqrt(100-40))/(4)=(10+-sqrt(60))/(4)=(5+-sqrt(15))/(2). Отбор корней (края/посторонние решения). Так как sqrt(15)~3,873: R_1=(5-sqrt(15))/(2)~0,564, R_2=(5+sqrt(15))/(2)~4,436. Корень R_2 невозможен: для него аппликата центра 3-R_2~-1,44<0, то есть центр вышел бы за пределы куба (и сама сфера радиуса >3 не помещается). Поэтому он посторонний и отбрасывается. Проверим, что корень R_1=(5-sqrt(15))/(2) даёт сферу, целиком лежащую в кубе. Центр O_2~(0,564;0,564;2,436), радиус R_1~0,564: сфера занимает по x и y отрезок [0;1,127]c[0;3], по z — отрезок [1,873;3]c[0;3]; она касается граней x=0, y=0, z=3 и не пересекает остальных. Первая сфера с центром (1,1,1) и радиусом 1 занимает по каждой оси [0;2]c[0;3] — тоже целиком внутри. Все условия задачи выполнены. Таким образом, радиус второй сферы равен (5-sqrt(15))/(2).

\dfrac{5-\sqrt{15}}{2}