Внутри куба с ребром 3 расположены две сферы. Первая касается плоскости основания и двух соседних боковых граней куба. Вторая сфера касается тех же двух боковых граней, грани куба, параллельной основанию, и первой сферы. Чему равен радиус второй сферы, если радиус первой равен 1?
Введём систему координат с началом в вершине куба, в которой сходятся плоскость основания и две упомянутые соседние боковые грани. Направим оси так, чтобы куб занимал область 0⩽x⩽3, 0⩽y⩽3, 0⩽z⩽3. Тогда:
основание: z=0,две соседние боковые грани: x=0, y=0,грань, параллельная основанию: z=3.Центр сферы радиуса r, касающейся плоскости, лежит на расстоянии r от этой плоскости.
Первая сфера (радиус r1=1) касается основания z=0 и граней x=0, y=0. Значит, её центр равноудалён от этих трёх плоскостей на расстояние 1:
O1=(1,1,1).Вторая сфера (радиус R) касается тех же граней x=0, y=0 и грани z=3. Поэтому её центр имеет координаты
O2=(R,R,3−R).Сферы касаются друг друга. Касание внешнее (вторая сфера расположена в верхней части куба у грани z=3, первая — у основания z=0; их области не вложены друг в друга), поэтому расстояние между центрами равно сумме радиусов:
∣O1O2∣=r1+R=1+R.Вычислим квадрат расстояния:
∣O1O2∣2=(R−1)2+(R−1)2+((3−R)−1)2=2(R−1)2+(2−R)2.Приравниваем к (1+R)2:
2(R−1)2+(2−R)2=(1+R)2.Раскроем:
2(R2−2R+1)+(R2−4R+4)=R2+2R+1, 2R2−4R+2+R2−4R+4=R2+2R+1, 3R2−8R+6=R2+2R+1, 2R2−10R+5=0.Отсюда
R=410±100−40=410±60=25±15.Отбор корней (края/посторонние решения). Так как 15≈3,873:
R1=25−15≈0,564,R2=25+15≈4,436.Корень R2 невозможен: для него аппликата центра 3−R2≈−1,44<0, то есть центр вышел бы за пределы куба (и сама сфера радиуса >3 не помещается). Поэтому он посторонний и отбрасывается.
Проверим, что корень R1=25−15 даёт сферу, целиком лежащую в кубе. Центр O2≈(0,564;0,564;2,436), радиус R1≈0,564: сфера занимает по x и y отрезок [0;1,127]⊂[0;3], по z — отрезок [1,873;3]⊂[0;3]; она касается граней x=0, y=0, z=3 и не пересекает остальных. Первая сфера с центром (1,1,1) и радиусом 1 занимает по каждой оси [0;2]⊂[0;3] — тоже целиком внутри. Все условия задачи выполнены.
Таким образом, радиус второй сферы равен 25−15.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ