Задача №17757

Решите неравенство

$$\frac{\sqrt{1-x}-1}{\sqrt{2+3x}-1}<1.$$

Решим неравенство

$$\frac{\sqrt{1-x}-1}{\sqrt{2+3x}-1}<1.$$

1. Область допустимых значений. Подкоренные выражения неотрицательны, а знаменатель отличен от нуля:

$$1-x\ge 0,2+3x\ge 0,\sqrt{2+3x}-1\ne 0.$$

Отсюда $x\le 1\text{,}$ $x\ge -\frac{2}{3}$ и $2+3x\ne 1\text{,}$ то есть $x\ne -\frac{1}{3}\text{.}$ Итак, ОДЗ:

$$x\in \left[-\frac{2}{3};-\frac{1}{3}\right)\cup \left(-\frac{1}{3};1\right].$$

2. Перенос в одну часть. Запишем

$$\frac{\sqrt{1-x}-1}{\sqrt{2+3x}-1}-1<0⟺\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{2+3x}}{\sqrt{2+3x}-1}<0.$$

3. Анализ числителя. Знак разности $\sqrt{1-x}-\sqrt{2+3x}$ совпадает со знаком разности подкоренных выражений:

$$(1-x)-(2+3x)=-1-4x.$$

Значит, числитель положителен при $x<-\frac{1}{4}\text{,}$ равен нулю при $x=-\frac{1}{4}$ и отрицателен при $x>-\frac{1}{4}$ (в пределах ОДЗ).

4. Анализ знаменателя. Так как $\sqrt{2+3x}\ge 0\text{,}$ знак выражения $\sqrt{2+3x}-1$ совпадает со знаком $(2+3x)-1=1+3x\text{:}$ он отрицателен при $x<-\frac{1}{3}$ и положителен при $x>-\frac{1}{3}\text{.}$

5. Метод интервалов на ОДЗ. Дробь отрицательна там, где числитель и знаменатель имеют разные знаки. Рассмотрим участки ОДЗ.

Участок $\left[-\frac{2}{3};-\frac{1}{3}\right)\text{:}$ здесь $x<-\frac{1}{4}\text{,}$ поэтому числитель $>0\text{;}$ и $x<-\frac{1}{3}\text{,}$ поэтому знаменатель $<0\text{.}$ Дробь отрицательна — неравенство выполнено. Левый конец $x=-\frac{2}{3}$ входит в ОДЗ (при нём числитель $\sqrt{5/3}>0\text{,}$ знаменатель $-1<0\text{,}$ дробь отрицательна) и включается.

Участок $\left(-\frac{1}{3};-\frac{1}{4}\right)\text{:}$ здесь числитель $>0\text{,}$ а знаменатель $>0$ (так как $x>-\frac{1}{3}$). Дробь положительна — неравенство не выполнено.

Точка $x=-\frac{1}{4}\text{:}$ числитель равен нулю, дробь равна нулю; неравенство строгое, поэтому точка не входит. (Эквивалентно: равенство дроби единице даёт $\sqrt{1-x}=\sqrt{2+3x}\Rightarrow 1-x=2+3x\Rightarrow x=-\frac{1}{4}\text{,}$ при котором исходная дробь равна $1\text{,}$ а не меньше.)

Участок $\left(-\frac{1}{4};1\right]\text{:}$ числитель $<0\text{,}$ знаменатель $>0\text{.}$ Дробь отрицательна — неравенство выполнено. Правый конец $x=1$ входит в ОДЗ (числитель $=-1<0\text{,}$ знаменатель $\sqrt{5}-1>0\text{,}$ дробь отрицательна) и включается.

6. Объединение. Решение неравенства:

$$x\in \left[-\frac{2}{3};-\frac{1}{3}\right)\cup \left(-\frac{1}{4};1\right].$$