Решите неравенство (sqrt(1-x)-1)/(sqrt(2+3x)-1)<1.

Решим неравенство (sqrt(1-x)-1)/(sqrt(2+3x)-1)<1. 1. Область допустимых значений. Подкоренные выражения неотрицательны, а знаменатель отличен от нуля: 1-x>= 0, 2+3x>= 0, sqrt(2+3x)-1!= 0. Отсюда x<= 1, x>= -(2)/(3) и 2+3x!= 1, то есть x!= -(1)/(3). Итак, ОДЗ: xin[-(2)/(3);-(1)/(3))U(-(1)/(3);1]. 2. Перенос в одну часть. Запишем (sqrt(1-x)-1)/(sqrt(2+3x)-1)-1<0 (sqrt(1-x)-sqrt(2+3x))/(sqrt(2+3x)-1)<0. 3. Анализ числителя. Знак разности sqrt(1-x)-sqrt(2+3x) совпадает со знаком разности подкоренных выражений: (1-x)-(2+3x)=-1-4x. Значит, числитель положителен при x<-(1)/(4), равен нулю при x=-(1)/(4) и отрицателен при x>-(1)/(4) (в пределах ОДЗ). 4. Анализ знаменателя. Так как sqrt(2+3x)>= 0, знак выражения sqrt(2+3x)-1 совпадает со знаком (2+3x)-1=1+3x: он отрицателен при x<-(1)/(3) и положителен при x>-(1)/(3). 5. Метод интервалов на ОДЗ. Дробь отрицательна там, где числитель и знаменатель имеют разные знаки. Рассмотрим участки ОДЗ. Участок [-(2)/(3);-(1)/(3)): здесь x<-(1)/(4), поэтому числитель >0; и x<-(1)/(3), поэтому знаменатель <0. Дробь отрицательна — неравенство выполнено. Левый конец x=-(2)/(3) входит в ОДЗ (при нём числитель sqrt(5/3)>0, знаменатель -1<0, дробь отрицательна) и включается. Участок (-(1)/(3);-(1)/(4)): здесь числитель >0, а знаменатель >0 (так как x>-(1)/(3)). Дробь положительна — неравенство не выполнено. Точка x=-(1)/(4): числитель равен нулю, дробь равна нулю; неравенство строгое, поэтому точка не входит. (Эквивалентно: равенство дроби единице даёт sqrt(1-x)=sqrt(2+3x)=> 1-x=2+3x=> x=-14, при котором исходная дробь равна 1, а не меньше.) Участок (-(1)/(4);1]: числитель <0, знаменатель >0. Дробь отрицательна — неравенство выполнено. Правый конец x=1 входит в ОДЗ (числитель =-1<0, знаменатель 5-1>0, дробь отрицательна) и включается. 6. Объединение. Решение неравенства: xin[-(2)/(3);-(1)/(3))U(-(1)/(4);1].

x \in \left[-\dfrac{2}{3};\,-\dfrac{1}{3}\right) \cup \left(-\dfrac{1}{4};\,1\right]