Задача №17755

Решите уравнение $(\sin x+\cos x{)}^2=2\text{.}$

Решим уравнение $(\sin x+\cos x{)}^2=2\text{.}$

Раскрытие квадрата. Возведём левую часть в квадрат, пользуясь основным тригонометрическим тождеством ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ и формулой синуса двойного угла $2\sin x\cos x=\sin 2x\text{:}$

Уравнение принимает вид

Область определения. Функции $\sin x$ и $\cos x$ определены при всех $x\text{,}$ никаких ограничений ОДЗ нет; преобразование тождественно, поэтому полученное уравнение равносильно исходному, и посторонние корни появиться не могут.

Решение уравнения $\sin 2x=1\text{.}$ Синус равен своему наибольшему значению $1$ только в точках вида $\frac{\pi }{2}+2\pi k\text{.}$ Значит,

Делим обе части на $2\text{:}$

Замечание о периоде. Так как $\sin 2x=1$ есть равенство в точке максимума, эта серия — единственная (других серий нет, как было бы для уравнения $\sin 2x=a$ при $|a|<1$). При этом период серии равен $\pi \text{,}$ а не $2\pi \text{:}$ деление аргумента на $2$ уменьшает шаг $2\pi$ до $\pi \text{.}$

Проверка. Подставим $x=\frac{\pi }{4}+\pi k\text{.}$ Тогда $2x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$ и $\sin 2x=1\text{,}$ поэтому $(\sin x+\cos x{)}^2=1+\sin 2x=1+1=2$ — верно при любом $k\in \mathbb{Z}\text{.}$ Например, при $k=0$ имеем $x=\frac{\pi }{4}\text{:}$ $\sin x=\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{,}$ и ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=(\sqrt{2}{)}^2=2\text{;}$ при $k=1$ имеем $x=\frac{5\pi }{4}\text{:}$ $\sin x=\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\text{,}$ и $(-\sqrt{2}{)}^2=2\text{.}$

Ответ: $x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$