Решите уравнение _3(5-2x)=_9(5+x).

Решим уравнение _3(5-2x)=_9(5+x). ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны: 5-2x>0 и 5+x>0, то есть -5<x<(5)/(2). Приведём к одному основанию. Поскольку 9=3^2, имеем _9(5+x)=(_3(5+x))/(_3 9)=(1)/(2)_3(5+x). Уравнение принимает вид _3(5-2x)=(1)/(2)_3(5+x), то есть 2_3(5-2x)=_3(5+x), _3((5-2x)^2)=_3(5+x). Снимаем логарифмы. Логарифм по основанию 3>1 строго монотонен, поэтому равенство логарифмов равносильно равенству аргументов (в пределах ОДЗ): (5-2x)^2=5+x. Раскрываем: 25-20x+4x^2=5+x, 4x^2-21x+20=0. Дискриминант: D=21^2-4*4*20=441-320=121=11^2. Корни: x=(21+- 11)/(8), x_1=(32)/(8)=4, x_2=(10)/(8)=(5)/(4). Проверка ОДЗ и отсев посторонних корней. itemize x=4: 5-2x=5-8=-3<0 — аргумент _3(5-2x) отрицателен, корень посторонний (вне ОДЗ x<52), отбрасываем. x=(5)/(4): 5-2x=(5)/(2)>0, 5+x=(25)/(4)>0, и -5<54<52 — ОДЗ выполнено. itemize Подстановка x=(5)/(4) в исходное уравнение. Левая часть равна _3((5)/(2)). Правая часть _9((25)/(4))=(1)/(2)_3((25)/(4))=(1)/(2)_3(((5)/(2))^2)=_3((5)/(2)). Обе части совпали — равенство верно. Ответ: x=(5)/(4).

x = \dfrac{5}{4}