Задача №17756

Решите уравнение

$${\log }_3(5-2x)={\log }_9(5+x).$$

Решим уравнение ${\log }_3(5-2x)={\log }_9(5+x)\text{.}$

ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны:

$$5-2x>0\text{и}5+x>0,\text{то есть}-5<x<\frac{5}{2}.$$

Приведём к одному основанию. Поскольку $9=3^2\text{,}$ имеем

$${\log }_9(5+x)=\frac{{\log }_3(5+x)}{{\log }_{3}9}=\frac{1}{2}{\log }_3(5+x).$$

Уравнение принимает вид

$${\log }_3(5-2x)=\frac{1}{2}{\log }_3(5+x),$$

то есть

$$2{\log }_3(5-2x)={\log }_3(5+x),{\log }_3((5-2x{)}^2)={\log }_3(5+x).$$

Снимаем логарифмы. Логарифм по основанию $3>1$ строго монотонен, поэтому равенство логарифмов равносильно равенству аргументов (в пределах ОДЗ):

$$(5-2x{)}^2=5+x.$$

Раскрываем:

$$25-20x+4x^2=5+x,4x^2-21x+20=0.$$

Дискриминант: $D=21^2-4\cdot 4\cdot 20=441-320=121=11^2\text{.}$ Корни:

$$x=\frac{21\pm 11}{8},x_1=\frac{32}{8}=4,x_2=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}.$$

Проверка ОДЗ и отсев посторонних корней.

• $x=4\text{:}$ $5-2x=5-8=-3<0$ — аргумент ${\log }_3(5-2x)$ отрицателен, корень посторонний (вне ОДЗ $x<\frac{5}{2}$), отбрасываем.
• $x=\frac{5}{4}\text{:}$ $5-2x=\frac{5}{2}>0\text{,}$ $5+x=\frac{25}{4}>0\text{,}$ и $-5<\frac{5}{4}<\frac{5}{2}$ — ОДЗ выполнено.

Подстановка $x=\frac{5}{4}$ в исходное уравнение. Левая часть равна ${\log }_3\left(\frac{5}{2}\right)\text{.}$ Правая часть

$${\log }_9\left(\frac{25}{4}\right)=\frac{1}{2}{\log }_3\left(\frac{25}{4}\right)=\frac{1}{2}{\log }_3\left((\frac{5}{2}{)}^2\right)={\log }_3\left(\frac{5}{2}\right).$$

Обе части совпали — равенство верно.

Ответ: $x=\frac{5}{4}\text{.}$